Чему равен момент инерции однородного стержня

Чему равен момент инерции однородного стержня

Момент инерции сплошного цилиндра (диска)

Момент инерции кольца

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения

Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела. Разобьём тело на систему материальных точек с массами . Вектор момента импульса i-й материальной точки относительно центра масс С равен: , а модуль этого вектора .

Найдем проекцию вектора на ось вращения z: . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.57) видно, что , где – расстояние от i-й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что , где – угловая скорость вращения тела, получим .

Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда .

Рис. 1.57.

Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты

их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:

Суммирование проводится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы , тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения, и задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:

Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:

Рис. 1.58.

Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов и материальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.58). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости . Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру масс С будет равен

Рис. 1.59

Вычислим моменты инерции некоторых простых тел. Найдем момент инерции однородного тонкостенного полого цилиндра (кольца) (см. рис. 1.59) массой m и радиусом R относительно его оси симметрии . Разобьем кольцо на элементарные массы dm. По определению момент инерции . Ввиду малой толщины стенок цилиндра, можно считать, что все элементарные массы находятся на одинаковом расстоянии R от оси . То есть, r = R = const., тогда . Так как есть масса кольца, следовательно, момент инерции кольца относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр масс

Рис. 1.60

Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси . Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины и радиуса . На рис. 1.60 показан только один такой цилиндр (выделен темным цветом). Момент инерции каждого полого цилиндра , где dm – масса элементарного цилиндра. Введем понятие поверхностной плотности массы цилиндра , где – площадь поверхности основания цилиндра. Тогда элементарная масса , где – площадь поверхности элементарного кольца, т. е. . Момент инерции сплошного цилиндра

Читайте также:  Как поставить координаты на фото

Вынесем за знак интеграла:

Учитывая, что , получим

То есть момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиусом R относительно его геометрической оси:

Для полого цилиндра момент инерции равен , где R1 и R2 – его внешний и внутренний радиусы.

Рис. 1.61.

Найдем момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси , проходящей через один из его концов перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (см. рис. 1.61). Разобьем стержень на элементарные массы dm бесконечно малой длины , удаленные от оси вращения на расстояние . Введем понятие линейной плотности массы стержня , где m – масса стержня, l – его длина, тогда элементарная масса , а момент инерции стержня будет равен

Учитывая, что , получим момент инерции однородного стержня относительно оси :

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 861 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Читайте также:  Как удалить игру с xbox one

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Читайте также:  Подробные условия тарифа супер мтс

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9997 — | 7762 — или читать все.

Рассмотрим еще пример определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, но не являющейся осью симметрии. До сих пор мы вычисляли момент инерции относительно оси симметрии; вычисление же момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, представляет более сложную задачу. Поэтому рассмотрим сначала самый простой пример: определим момент инерции тонкой палочки длиной l и массы m относительно оси, составляющей с направлением палочки угол a и проходящей через ее центр масс (рис.1.22).

Рисунок 1.22 О моменте инерции стержня

Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна и находится она на расстоянии f от оси, f = x×sina. Момент инерции равен

,

а момент инерции всей палочки

(1.22)

Очевидно, если палочка перпендикулярна к оси вращения , то

(1.23)

Здесь при вычислении момента инерции мы считали палочку очень тонкой, математически это значит, что диаметр сечения палочки имеет бесконечно малую величину, а при обычных приближенных вычислениях мы полагаем, что диаметр палочки ничтожно мал по сравнению с ее длиной.

Теорема Штейнера.

Выше было показано, что момент инерции тела зависит от массы тела и закона распределения этой массы в пространстве, т.е. формы тела. Зависит он также и от положения оси вращения в пространстве.

Если мы каким-либо способом определим момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс (собственный момент инерции, обозначаемый Io), то очень просто определить момент инерции относительно любой параллельной ей оси.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через ЦИ, равен Io, то момент инерции относительно оси, параллельной первичной и проходящей от неё на расстоянии «а», будет равен

I = Io + ma 2 ,

где Io – собственный момент инерции,

а – расстояние между осями.

Это и есть теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера.

Дата добавления: 2017-10-04 ; просмотров: 2836 ;

Ссылка на основную публикацию
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Теплопроводность олова и меди
Все изделия, используемые человеком, способны передавать и сохранять температуру прикасаемого к ним предмета или окружающей среды. Способность отдачи тепла одного...
Терминальные лицензии windows server 2008 r2
Установка сервера терминалов в 2008/2008R2 2 часть / активация сервера терминалов 2008 r2 Установка сервера терминалов в 2008/2008R2 2 часть...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Adblock detector