Что называют разностью целых неотрицательных чисел

Что называют разностью целых неотрицательных чисел

Определение. Разностью ав двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию: в + с = а.

Действие, с помощью которого находится разность чисел ав, называют вычитанием.

Теорема 1. Разность двух целых неотрицательных чисел ав существует тогда и только тогда, когда ав.

Доказательство. Докажем сначала достаточность названного условия, т.е. докажем, что если ав, то разность ав существует. Пусть ав, значит ($k Î N)[a = в + k]. Следовательно, разность ав существует и равна k Î N.

Теперь необходимость. Т.е., если ав существует, то ав. Итак, по условию разность ав существует и пусть она равна некоторому целому неотрицательному числу k, т.е. ав = k. Прибавим к обеим частям равенства целое неотрицательное число в, тогда получим:

Теорема 2. Если разность целых неотрицательных чисел существует, то она единственная.

Эта теорема выражает дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания.

Деление целых неотрицательных чисел

Определение. Частным а : в двух целых неотрицательных чисел а и в называют целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условию а = в · с.

Действие, с помощью которого находится частное чисел а и в, называют делением.

Замечание. Рассмотрим частные случаи, возникающие при делении, когда хотя бы одно из чисел а или в равно 0.

Пусть а = 0, в ≠ 0. По определению а : в = с, если а = в · с. В последнем равенстве левая часть равна 0, значит и правая часть равна 0. Т.к. в ≠ 0, значит с = 0. Итак, при делении нуля на число не равное нулю, частное равно нулю.

Пусть теперь а ≠ 0, в = 0. Тогда равенству а = в · с не удовлетворяет ни одно целое неотрицательное с, в самом деле, при любом с левая часть равенства не равна 0, а правая равна 0. Итак, деление натурального числа на нуль невозможно.

Пусть а = в = 0. Тогда равенству а = в · с удовлетворяет любое число с. В этом случае деление не определено однозначно.

Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы ва. Если частное существует, то оно единственно.

Доказательство существования частого.

Пусть частное натуральных чисел а и в существует, т.е. существует такое натуральное число с, что в · с = а. Для любого натурального числа с имеем, что 1 ≤ с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число в, получим вв · с. Так как в · с = а, то ва.

Доказательство единственности частного.

Правила деления

1. Правило деления суммы на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют, то

Например, 66 : (2 + 4) ≠ 66 : 2 + 66 : 4.

Читайте также:  Радиатор биметаллический germanium neo 500 отзывы

2. Правило деления разности на число. Если частные натуральных чисел а и с, в и с существуют и ав, то (ав) : с = а : св : с.

Доказательство этого правила аналогично доказательству правила деления суммы на число. (Читателю предлагается выполнить его самостоятельно).

П р и м е р. 192 : 4 = (200 – 8) : 4 = 200 : 4 – 8 : 4 = 50 – 2 = 48.

3. Правило деления произведения на число. Если существует частное чисел а и с, то (а · в) : с = (а : с) · в. Если существует частное чисел в и с, то (а · в) : с = (в : с) · а.

Доказательство. Пусть частное чисел а и с существует и равно х, тогда а = с · х, умножим обе части этого равенства на в, получим
а · в = с · х · в = с · (в · х) и потому (а · в) : с = в · х = в · (а : с) = (а : с) · в.

П р и м е р. 560 : 7 = (56 · 10) : 7 = (56 : 7) · 10 = 80.

П р и м е р . 480 : 60 = 480 : (6 · 10) = (480 : 10) : 6 = 48 : 6 = 8.

В начальном курсе математики определение деления как операции обратной умножению в общем виде не дается, но постоянно используется. В начальных классах дается пояснение: деление связано с умножением. Разделить 48 на 4 – значит найти число, которое при умножении на 4 дает 48. Это число 12. Значит, 48 : 4 = 12.

Деление с остатком

Рассмотрим пример из начального курса математики:

7368 24

В этом примере пришлось 3 раза выполнять деление с остатком:

73 : 24 = 3 (ост. 1);

16 : 24 = 0 (ост. 16);

168 : 24 = 7 (ост. 0).

С делением с остатком ученики знакомятся во втором классе на примерах: 11:2 = 5 (ост. 1), 19 : 4 = 4 (ост. 3). Остаток при делении всегда должен быть меньше делителя.

Определение. Делением с остатком натурального числа а на натуральное число в называют правило, посредством которого находится пара натуральных чисел q – неполное частное и r – остаток, удовлетворяющих следующим условиям:

2) 0 ≤ r в и а не делится на в (например.86 : 10), для отыскания частного и остатка проведем следующие рассуждения. Рассмотрим возрастающую последовательность натуральных чисел, кратных в:

Эта последовательность возрастающая, т.к. в ≥ 1. Нетрудно заметить, что число а расположится между двумя членами рассматриваемой последовательности, но ни с одним из членов последовательности совпадать не будет, т.к. по условию а не кратно в. Найдем наибольшее q, для которого в · q а. Так как a > вq, то разность авq существует, т.е. авq = r, где r Î N, т.к. в (q + 1) > а, то вq + в > а и в > авq, т.е. в > r. Мы доказали, что найденное r 2 + 3 2 + 5 2 + . + (2n – 1) 2 = .

4. Используя аксиоматическое определение сложения, найдите значение выражения: а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4.

Читайте также:  Оперативная память m471b5673fh0 cf8

5. Используя аксиоматическое определение умножения, найдите значение выражения: а) 3 · 2; б) 3 · 3; в) 3 · 4.

6. Сформулируйте определение деления с остатком и, используя его, разделите с остатком 30 на 8; 30 на 6; 30 на 31.

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Около школы посадили 8 деревьев – берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5.

Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.

Среди посаженных деревьев 3 березы – на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5.

Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества , т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнением подмножества.

Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества A при условии, что n(A)=a, n(B)=b и B A.

Пример. Объясним, используя данное определение , что 7-4=3. 7 –это число элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем , например, множества A= , B=. Найдем дополнение множества В до множества А: АВ=. Получаем, что n(АВ) = 3. Следовательно, 7-4 = 3.

Очевидно, в качестве таких множеств Аи В, что п(А) = 7, п(В) = 4 и B A,можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а — в не зависит от выбора множеств А и В,удовлетворяющих условиям п(А) = а, п(В) — в и B A.

№17.Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и её единственность.

Действие, при помощи которого находят разность ав, называется вычитанием, чис­ло а— уменьшаемым, число b — вычитаемым.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обра­щаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между дейст­виями вычитания и сложения.

Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п(А),в— п(В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а — в = п(АВ).

На кругах Эйлера множества А, В, АВизображаются так:

Известно, что A = B (AB),откуда п(А) = п (В (АВ)).Так как В∩(АВ)= Ø, то имеем п(А) = п (В(АВ)) = п(В) + (АВ)= в +(ав). Следовательно, получаем, что а = в + (ав), т. е. разность ав есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.

Установленный факт дает возможность по-другому дать опреде­ление разности.

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.

Читайте также:  Почему не работает клавиатура на компьютере windows

Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a-b: a-b=c1 и a-b=c2. Тогда по определению разности имеем a=b+c1 и a=b+c2. Отсюда следует b+c1=d+c2 и, значит, c1=c2.

Теорема.Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b 0, то b

Разность двух целых неотрицательных чисел. Вычитание. Связь вычита­ния со сложением.

Существование и единственность разности. Отношения "больше на", "меньше на".

Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы, суммы из числа.

Частное целого неотрицательного числа на натуральное. Деление. Связь деления с умножением. Существование и единственность частного. Смысл отношений "больше в", "меньше в".

Теоретико-множественный смысл правил деления суммы и произведе­ния на число.

Связь с начальным курсом математики.

Литература: (2) гл. II, 12 пп 54-56; (3) гл. III, §§ 13, 15; (4) гл. II, 10-15; (5) гл. II, 5 пп 38-43; (6) гл. VIII, с. 240-249.

Разность целых неотрицательных чисел

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число (ab), равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что m(A)=a, m(B)=b и BA

а – b = m (AB), где a = m (A), b = m (B) и BA

Действие отыскания разности называется вычитанием. При этом записывают a b = c.

Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b a.

1. Необходимость существования разности: Если разность c = a b существует, то b a.

Возможны два случая: с = 0 и с ≠ 0, то есть с > 0.

а) пусть с = 0, тогда так как с = m (AB), то m (AB) = c => AB = Ø. А так как В А, то это означает, что А = В. Тогда m (A) = m (B), то есть a = b.

б) пусть с > 0,то есть m (AB) > 0 => AB ≠ Ø и значит B A. Так как А и В конечные множества, то m (B) по определению разности имеем a b = m (AB) = 0, то есть разность с = 0.

3. Единственность разности.

Пусть B A, B1 A1 ,тогда a – b = m (AB) и a – b = m (A1B1).

Пусть ABA1B1, тогда в одном из множеств, например в A1B1, можно выделить подмножество Е1, которое будет равномощно AB.

E1 A1B1 и AB

A = (AB),где B ∩ (AB) = Ø

Рассмотрим множество А’11В1, где Е1∩В1=Ø. Очевидно, что A’1 A1.

Из того, что

A1 (то есть множество равномощно своему собственному подмножеству), а это противоречит определению конечного множества.

Таким образом теорема доказана полностью.

Так как A = B (AB), то m (A) = m (B(AB))

Так как B∩(AB) = Ø, то m (B(AB)) = m (B) + m (AB),где m (A) = a, m (B) = b, m (AB) = a – b.

Отсюда получаем другое определение разности.

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число (a b), которое в сумме с числом b дает число а.

Используя теоретико-множественное толкование суммы, разности целых неотрицательных чисел, можно теоретико-множественное толкование всех правил, связывающих операции сложения и вычитания этих чисел.

Ссылка на основную публикацию
Через какое время отключают сим карту мегафон
Часто можно слышать, что некоторые люди вместо одной сим-карты предпочитают пользоваться двумя или сразу несколькими. Это объясняется лояльной политикой компании...
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Через прямую l провести плоскость перпендикулярно данной
Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными...
Adblock detector