Что такое градиент потенциала

Что такое градиент потенциала

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

, (12)

Где Wр – потенциальная энергия заряда q, называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

.

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

.

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

.

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ — единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности.

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а — потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Читайте также:  Конфликт оперативной памяти разных производителей

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где — проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. — . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

В частности, в декартовой системе координат:

; ; ;

откуда .

Выражение в скобках называется градиентом скаляра .

. (13)

Таким образом, напряженность электрического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Градиент некоторой скалярной величины есть век­торная величина со следующими свойствами. Направление градиента совладеет с направлением, в котором при смещении из данной точ­ки функция возрастает с наибольшей скоростью. Величина по этому направлению дает модуль градиента. Частные про­изводные , , представляют собой проекции гра­диента на оси x,y,z .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9822 — | 7504 — или читать все.

В физике , химии и биологии , А градиент потенциала является локальной скоростью изменения этого потенциала по отношению к смещению, т.е. пространственной производной, или градиента. Эта величина часто происходит в уравнениях физических процессов , так как это приводит к некоторой форме потока .

содержание

Определение

Один размер

Простое определение для потенциального градиента F в одном измерении состоит в следующем:

F знак равно φ 2 — φ 1 Икс 2 — Икс 1 знак равно Δ φ Δ Икс < Displaystyle Р = < гидроразрыва < Phi _ <2>- Phi _ <1>> -x_ <1>>> = < гидроразрыва < Delta Phi> < Delta>х > , !>

где φ ( х ) некоторый тип скалярного потенциала и х является смещение (не расстояние ) в й направлении, индексы маркировать две различные позиции х 1 , х 2 , и потенциалы в этих точках, ф 1 = ф ( х 1 ) , φ 2 = φ ( х 2 ) . В пределе бесконечно малых смещений, отношение разностей становится отношение дифференциалов :

F знак равно d φ d Икс , < Displaystyle F = < гидроразрыва << гт > Phi> << гт > х>>. , !>

Направление градиента электрического потенциала от x1 до x2.

Три измерения

В трех измерениях , декартовы координаты дают понять , что результирующий градиент потенциала является суммой потенциальных градиентов в каждом направлении:

F знак равно е Икс ∂ φ ∂ Икс + е Y ∂ φ ∂ Y + е Z ∂ φ ∂ Z < Displaystyle mathbf = mathbf <е>_ <х> < гидроразрыва < парциальное Phi>< парциальное х>> + mathbf <е>_ <у> < гидроразрыва < парциальное фита>< парциальные у>> + mathbf <е>_ <г> < гидроразрыва < парциального Phi>< парциального г>> , !>

где е х , е у , е г являются единичными векторами в х, у, г направлений. Это может быть компактно записано в терминах градиента оператора ∇ ,

Читайте также:  Рейтинг недорогих игровых ноутбуков

F знак равно ∇ φ , < Displaystyle mathbf = набла фита. , !>

хотя эта последняя форма имеет место в любой криволинейной системе координат , а не только декартовы.

Это выражение представляет собой существенную особенность любого консервативного векторного поля F , а именно Р имеет соответствующий потенциал ф .

Используя теорему Стокса , это равносильно тому, как

∇ × F знак равно 0 < Displaystyle набла раз mathbf = < boldsymbol <0>> , !>

то есть завиток , обозначаемый ∇ ×, векторное поле обращается в нуле.

физика

ньютоновская гравитационная

В случае гравитационного поля г , который может быть показан , чтобы быть консервативными, оно равно градиенту в гравитационном потенциале Ф :

г знак равно — ∇ Φ , < Displaystyle mathbf <г>= -.! Набла Phi , >

Есть противоположные знаки между гравитационным полем и потенциалом, так как градиент потенциала и поля противоположны по направлению: как потенциал возрастает, силы гравитационного поля убывают, и наоборот.

электромагнетизм

В электростатики , то электрическое поле Е не зависит от времени т , так что не существует индукция зависимого от времени магнитного поля B по закону индукции Фарадея :

∇ × Е знак равно — ∂ В ∂ T знак равно 0 , < Displaystyle наб раза mathbf = — < гидроразрыв < парциального mathbf , <> парциального т>> = < boldsymbol <0>> ,,>

что означает , Е есть градиент электрического потенциала V , совпадает с классическим гравитационным полем:

— Е знак равно ∇ В , < Displaystyle — mathbf = наб V , .!>

В электродинамики , то Е поле зависит от времени и вызывает зависимое от времени B поле также (опять же в соответствии с законом Фарадея), так что ротор Е не равен нулю , как и прежде, что подразумевает электрическое поле больше не градиент электрического потенциала. Термин зависит от времени должны быть добавлены:

— Е знак равно ∇ В + ∂ A ∂ T < Displaystyle — mathbf <Е>= наб V + < гидроразрыва < парциального mathbf > < парциальный т>> , >

где представляет собой электромагнитный векторный потенциал . Это последнее выражение потенциала фактически сводится закон Фарадея к идентичности.

механика жидкостей и газов

В механике жидкости , то поле скоростей v описывает движение жидкости. Безвихревым потока означает , что поле скоростей является консервативным, или , что эквивалентно завихренности псевдовектор поля ω равна нулю:

ω знак равно ∇ × v знак равно 0 , < Displaystyle < boldsymbol < Omega>> = набла раз mathbf = < boldsymbol <0>>.>

Это позволяет потенциальная скорость быть определена просто как:

v знак равно ∇ φ < Displaystyle mathbf = набла Phi>

Химия

Δ φ ( M , M + Z ) знак равно Δ φ ( M , M + Z ) ⊖ + р T Z е N A пер ⁡ a M + Z < Displaystyle Delta Phi _ <(М, М ^ <+ г>)> = Delta Phi _ <(М, М ^ <+ г>)> ^ < ominus>+ < гидроразрыва >> пер a_ > , !>

где R = газовая постоянная , Т = температура раствора, г = валентность металла, е = элементарный заряд , N = Авогадро , а М + Z является активность ионов в растворе. Количества с верхним индексом ⊖ обозначает измерение берутся при стандартных условиях . Градиент потенциала является относительно крутым, так как существует почти определенная граница между металлом и раствором, отсюда термин интерфейса.

Читайте также:  Ноутбук не включает монитор

Биология

В биологии , потенциальный градиент чистая разница в электрическом заряде через клеточную мембрану .

Неединственность потенциалов

Так как градиенты в потенциалах соответствуют физическим полей , это не имеет значения , если константа добавляется на (стираются с помощью оператора градиента ∇ который включает в себя частичную дифференциацию ). Это означает , что нет никакого способа , чтобы сказать , что «абсолютное значение» потенциал «является» — значение потенциала нулевого совершенно произвольно и может быть выбрано в любом месте удобства (даже «на бесконечности»). Эта идея также относится к векторным потенциалами, и эксплуатируется в классической теории поля , а также калибровочной теории поля .

Абсолютные значения потенциалов физически не наблюдаемы, только градиенты и путь в зависимости от разности потенциалов. Тем не менее, эффект Ааронова-Бома является квантово — механическое воздействие , которое показывает , что ненулевые электромагнитные потенциалы вдоль замкнутого контура (даже тогда , когда E и B полей равны нулю всюду в области) приводят к изменениям в фазе волновой функции от электрический заряженные частицы в области, так что потенциалы по всей видимости, имеют измеримое значение.

Потенциальная теория

Уравнения поля , такие как законы Гаусса для электричества , магнетизма , и для гравитации , можно записать в виде:

∇ ⋅ F знак равно Икс ρ < Displaystyle набла CDOT mathbf = Х Rho>

где ρ является электрическая плотность заряда , монополь плотности (если они существуют), или плотность массы и Х является константой (с точки зрения физических констант G , е , ц и другие численные множители).

Скалярные градиенты потенциала приводят к уравнению Пуассона :

∇ ⋅ ( ∇ φ ) знак равно Икс ρ ⇒ ∇ 2 φ знак равно Икс ρ < Displaystyle набла CDOT ( набла фи) = Х Rho четырехъядерных Rightarrow четырехъядерных набла ^ <2> Phi = Х Rho>

Общая теория потенциала была разработана для решения этого уравнения для потенциала. Градиент этого раствора дает физическое поле, решая уравнение поля.

Напряженность как градиент потенциала

Напряженность как градиент потенциала различают две характеристики электростатического поля: силовую (напряженность) и энергетическую (потенциал).

Напряженность и потенциал — различные характеристики одной и той же точки поля; следовательно, между ними должна существовать связь.

Рассматривая две точки с координатами (x, y, z) и (x+dx, y, z), между которыми перемещается заряд, можно сделать вывод, что напряженность как градиент потенциала имеет формулу:

Величина, характеризующая быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии, называется градиентом потенциала

Отсюда следует, что вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала и направлен в сторону убывания потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

Ссылка на основную публикацию
Через какое время отключают сим карту мегафон
Часто можно слышать, что некоторые люди вместо одной сим-карты предпочитают пользоваться двумя или сразу несколькими. Это объясняется лояльной политикой компании...
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Через прямую l провести плоскость перпендикулярно данной
Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными...
Adblock detector