Что такое произвольная точка

Что такое произвольная точка

И вот тут обнаруживается, что проблема обоснования деятель­ности или поведения наталкивается в своих исходных пунктах на непреодолимые трудности, как, впрочем, и любое другое обосно­вание. Во-первых, исходных предпосылок может быть много и они могут противоречить друг другу, во-вторых, сами они уже по оп­ределению не могут быть обоснованы, и мы неизбежно оказываемся перед лицом роковых альтернатив, не имея в руках никаких средств для их преодоления. Вот пример такой альтернативы. Следует ли искать смысл и ценность жизни в самой жизни или за ее пределами? Иными словами» должны ли мы стремиться к наслаж­дению непосредственными проявлениями жизни или надо рассматри­вать ее как служение чему-то высшему? В конечном итоге раци­ональный выбор оказывается невозможным. Мы должны призвать, что в логическом развитии нашего мировоззрения существуют та­кие точки, в которых каждый сознательный человек, подобно рас­смотренному выше автомобилисту, вынужден "бросить жребий". Точки такого рода мы будем называть точками произвольного вы­бора. Речь идет, разумеется, о чисто теоретических ситуациях, ибо в реальности человек, как уже говорилось, всегда живет в определенной социальной среде, т.е. в поле действия существую­щих в этой среде традиций. Но теоретически мы сталкиваемся в этих точках с границами человеческой свободы.

Фиксация таких точек в нашем мировоззрении — это одно из эпохальных открытий философской мысли. Оказалось, в частности, что можно занимать позицию крайнего солипсизма, рассматривая все как нечто существующее только в моем сознании, и эта точ­ка зрения столь же логически обоснована, как и позиция после­довательного материализма. "И никакими доказательствами, сил­логизмами, определениями, — вынужден признать В.И. Ленин, — нельзя опровергнуть солипсиста, если он последовательно про­водит свой взгляд" /6, с.282/. Материализмили солипсизм — вот пример точки произвольного выбора. Легко показать, что итоги развития науки инварианты относительно этого выбора. Действи­тельно, все, что мы исследуем и познаем, все это проходит че­рез наше сознание. Познанное — это значит как-то представлен­ное в сознании. Даже утверждение материализма, согласно кото­рому наряду со знаниями и представлениями есть еще нечто отних независящее, это тоже некоторая картина в нашем сознании. Но, может быть, такой выбор вообще не имеет значения, ибо какой смысл выбирать, если точки зрения абсолютно эквивалентны? Нет, не эквивалентны. Ценностные, этические представления не инва­риантны относительно данного выбора. Бессмысленно, например, говорить об альтруизме в рамках солипсистского мировоззрения. Но альтруизм иди эгоцентризм — это тоже, вероятно, точка произвольного выбора.

Границы человеческой свобода, границы рациональности, с которымимы здесь сталкиваемся, неизбежны, ибо нельзя предста­вить и нельзя реализовать исторический социальный процесс как осознанную целенаправленную деятельность. Индивидуальный человек подчинен социальному целому, он есть элемент естественно-исторического процесса, диктующего ему свою волю. Если он дер­зает быть свободным, то рано или поздно обнаруживает, что у него нет критериев выбора, что процесс рационального обоснова­ния его поведения должен где-то кончиться, и там, где это про­исходит, человек вынужден передать право первого хода объектив­ным обстоятельствам. Это и значит, образно говоря, бросить жре­бий. Философия в данном контексте — это арена, на которой раз­вертывается одна из самых впечатляющих "трагедий" человеческо­го разума, обусловленная его безудержным стремлением все под­чинить своим требованиям.

В качестве примера такой "трагедии" рассмотрим еще одну особенность точек произвольного выбора. Для них характерно не только отсутствие критериев. Обнаруживается, что сама задача выбора может быть сформулирована только в рамках некоторой те­оретической модели, которая этот выбор уже фактически предпо­лагает. Вернемся для иллюстрации к уже рассмотренным выше рас­суждениям А. Эйнштейна. "Стол как таковой, — пишет он, — мне не дан; мне дан лишь некий комплекс отдельных ощущений. " Мы, казалось бы, стоим перед выбором: признать ли это непосредствен­но данное за единственную реальность или довериться "умозритель­ным построениям", согласно которым за пределами комплекса ощу­щений существует еще и "стол как таковой"? Но откудамы знаем, что непосредственно нам даны именно ощущения? Они ведь не яв­ляются объектами чувственного восприятия, никто из нас не ви­дит и не слышит собственных ощущений. Ребенок или первобытный человек видит перед собой непосредственно именно "стол как та­ковой" или нечто аналогичное, а представление об ощущениях — это продукт длительного исторического развития познания, про­дукт "умозрительных построений". Эти построения, следователь­но, уже лежат в основе сформулированной нами ситуации выбора.

Читайте также:  Турник в проём отзывы

Другой пример — уже рассмотренная нами аксиологическая альтернатива: следует ли искать смысл жизни в самой жизни иди в служении чему-то высшему? Разве сама постановка вопроса не означает стремление действовать воимя некоторого Принципа? Непосредственное наслаждение проявлениямижизни, вероятно, просто не предполагает постановку аксиологических проблем, ибо такая постановка уже свидетельствует о стремлении согласовать свое поведение с требованиями Разума, с нормативами Культуры, стремлении подчинить свои непосредственные проявления чему-то надличностному, надиндивидуальному.

Подводя итог, хочется сказать следующее. Цель философия -предоставить в распоряжение человека возможно более богатый арсенал отрефлектированных критериев выбора, арсенал средств, обеспечивающих его свободу и формирующих его как личность, спо­собную к рационально обоснованному действию. В ходе этой рабо­тымы неизбежно наталкиваемся на точки произвольного выбора. Да, это границы свободы, границы рациональности. Но и здесь следует отличать автомобилиста, который проскочил перекресток, не заметив и не осознав этого, от того, кто доверяется жребию с полным сознанием объективной неизбежности. Последнее в опре­деленном смысле слова — это тоже разновидность свободы.

1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т.20.

2. Аристотель. Соч.М.: Мысль, 1984. Т.4.

3. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов.М.: Наука» 1967. Т.4.

4. Борн М. Моя жизнь и взгляды. М.: Прогресс, 1973.

Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов (для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.

В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии. В первом параграфе мы уже сталкивались с операцией выбора некоторого произвольного элемента. В статье [2], где эта операция была подробно рассмотрена, отмечалось, в частности, что упомянутая операция неявно апеллирует к существованию у человека свободы воли. Тем самым, как было отмечено в [2], такое понятие как независимая переменная также базируется на предположении о существовании у человека свободы воли[2].

Для преподавателя математики этот вопрос вовсе не является второстепенным – например, на уроках геометрии невозможно обойтись без «выбора произвольной точки».

Любознательный ученик может тогда спросить:

– А что такое произвольная точка? Это то же самое, что случайно выбранная точка?

Ответ преподавателя будет, конечно, отрицательным. Заменив произвольно выбранную точку на точку, выбранную случайно, мы не сможем провести ни одного сколько-нибудь содержательного доказательства. Ведь случайно выбранная точка может совершенно случайно всегда оказываться, например, началом координат…

Но в то же время некоторая произвольно выбранная точка – это не то же самое, что каждая точка. Мы просто физически не можем выбрать каждую точку на плоскости – человек, как утверждают психологи, не способен одновременно уследить больше чем за семью объектами!

Преподаватель математики вовсе не должен перегружать своих учеников философскими размышлениями о наличии или отсутствии свободы воли у человека. Но понимать, что «выбор некоторого произвольного элемента»[3] – это операция, без которой математика беспомощна, на наш взгляд необходимо.

Похоже, однако, что представление о свободе воли является для человека врожденным, а сомнение в ее наличии есть некое «отклонение от нормы». К такому выводу нас подталкивают следующие обстоятельства.

Процитируем вначале учебник по высшей геометрии [3, с. 205]: «…точки, прямые и плоскости как образы нашего геометрического воображения не поддаются математическому описанию».

Читайте также:  Battle net загрузка обновленных данных повисла

– Как же так? – может воскликнуть читатель, искушенный в математике. – А как же аксиомы Гильберта или аксиомы Клейна? Наконец, аксиомы Евклида? Разве они не определяют, что такое точка, прямая и плоскость?

– Конечно, определяют, – ответим мы. – Но только в некоем абстрактном пространстве, а не в пространстве наших зрительных образов. То есть определяют, но не то, что нужно…

Иными словами, с помощью логики, опираясь на информацию, поступающую от органов чувств, придти к понятию «точка», по-видимому, невозможно. Но откуда же тогда взялось это понятие?

Процитирую в этой связи статью Александра Маркова («Элементы», 21.06.10):

Любопытно сравнить результаты этих опытов с методикой обучения младших школьников понятию «точка» (сообщено авторам Н. Лукановой):

Рассуждая аналогично [2], можно показать, что и понятие бесконе ч ность основано на понятии свободы воли.

5.1 Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б);

· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в);

· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г);

· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д).

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П1П2, П3. Кроме этогоэто задание плоскости следами , при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).

5.2 Следы плоскости.

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П1, П2, П3)называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости — это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П1 и обозначается , фрон­тальный — с плоскостью П2 (), профильный — с плоскостью П3(). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси х, а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П12, П3.

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может за­нимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П1 (рисунок 5.3).

Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизон­тальным следом 1. Угол, который образуется между плоскостями и П2, проецируется на П1 без искажения. Фронтальный след 2 пер­пендикулярен к оси x.

Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, пря­мых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2. Угол , который образуется между заданной плоскостью и П1, проецируется на П2 без искажения. Горизонталь­ный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.

Читайте также:  Крутые фотки на главный экран

Профильно-проецирующая плоскость Т (T1, T2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П3 (рисунок 5.5).

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т3.Углы и , которые образуются между задан­ной плоскостью и плоскостями проекций П1и П2(= T^П1; =Т^П2),проецируются на плоскость П3без искажений. Горизон­тальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).

Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плос­кость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П1и П2.Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная од­новременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Та­ких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П2, П3 и параллельна П1 (рисунок 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П13 и па­раллельна П2(рисунок 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П1, П2 и параллельна П3(рисунок 5.7 в).

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное мно­жество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, зани­мающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3.Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, прове­денная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция гори­зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости — нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в за­данной плоскости и параллельная П3.

К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П1 — линия ската, к П2 — линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П2.

Линии наибольшего наклона плоскости — это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 1503 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Ссылка на основную публикацию
Через какое время отключают сим карту мегафон
Часто можно слышать, что некоторые люди вместо одной сим-карты предпочитают пользоваться двумя или сразу несколькими. Это объясняется лояльной политикой компании...
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Через прямую l провести плоскость перпендикулярно данной
Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными...
Adblock detector