Что значит доказать справедливость неравенства

Что значит доказать справедливость неравенства

Цели: изучить основные приёмы доказательства неравенств; сформировать умение доказывать сложные неравенства различными приёмами.

I. Актуализация знаний.

1. Сформулировать определение: число а больше числа b, если разность а — b — положительное число; число а меньше числа b, если разность а – b — отрицательное число.

2. Сформулировать основные свойства числовых неравенств:

Теорема 1. Если а > b, то b а.

Теорема 2. Если а 0, то ас bс.

Следствие. Если а > 0 и b > 0 и а 0, b > 0 и а n n , где n є N.

II. Изучение нового материала.

1. Сначала показываем отличие заданий “решить неравенство” и “доказать неравенство”. В первом случае мы выполняем равносильные преобразования исходного неравенства, получаем более простое неравенство и находим те значения переменной, которые обращают неравенство в верное числовое неравенство (или доказываем, что таких значений нет).

В заданиях на доказательство неравенства в условии есть утверждение, что данное неравенство верно при любых значениях переменной либо при некоторых значениях (задано заранее множество значений переменной), и необходимо это утверждение доказать.

2. Доказательства проводятся с помощью различных приёмов, некоторые из которых знакомы учащимся.

1-й приём. Составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что она сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Рассматриваем данный приём на примере 1 со с. 193 учебника.

2-й приём. Показываем, что данное неравенство следует из других неравенств, справедливость которых известна.

К таким неравенствам (их ещё называют “основными” и “базовыми”) относятся:

и др.

Рассматриваем данный приём на примере 2 со с. 193-194 учебника.

3-й приём. В отдельных случаях можно доказать неравенство, используя некоторые очевидные соотношения.

В качестве таких очевидных соотношений могут быть взяты, например, такие: при любом при при х ≥ -1 и т. п.

Рассматриваем данный приём на примерах 3 и 4 со с. 194-195 учебника.

III. Формирование умений и навыков.

При доказательстве неравенств можно использовать любые предложенные приёмы, следует поощрять осознанный выбор того или иного приёма.

Читайте также:  Как обновить гугл хром на компьютере

При рассмотрении задач на доказательство неравенств у учащихся может возникнуть представление об оторванности таких задач от потребностей практики. Чтобы этого не произошло, необходимо решать также прикладные задачи на неравенства.

для любых а и и, значит, Неравенство доказано.

значит, при a > 0, b > 0. Неравенство доказано.

Доказать, что для любых а > 0, b > 0.

значит, неравенство доказано.

значит,

Аналогично докажем, что

Имеем:

Значит, что и требовалось доказать.

Пусть х км/ч — намеченная скорость велосипедиста, обозначим путь за 1, тогда, по расчетам, он должен был затратить на весь путь, а на самом деле затратил

Велосипедист успеет к сроку, если Докажем это.

так как х > 2.

Имеем: значит, велосипедист не успел вернуться к назначенному сроку.

Описание разработки

Решение неравенств.

Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств — это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. параграф "Неравенства: общие сведения"). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические (содержащие только многочлены) и трансцендентные (например, логарифмические или тригонометрические). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.

Метод интервалов.

Решить неравенство: (x – 3) (x – 5) 7) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 0.

Решение. Корни левой части неравенства очевидны: 1, 2, 3, …, 100.

Они разбивают числовую ось на 101 интервал:

Так как количество скобок в левой части чётно (равно 100), то при x 100.

Таким образом, данное неравенство имеет решение:

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.

Читайте также:  Как вычислить количество дней в excel

Заметим, что большинство трансцендентных неравенств заменой неизвестного приводятся к алгебраическому неравенству. Его надо решить относительно нового неизвестного, а затем путём обратной замены найти решение для исходного неравенства.

Как доказать неравенство? Рассмотрим некоторые способы доказательства неравенств.

1) Число a больше числа b, если разность a-b — положительное число:

a>b, если a-b>0.

2) Число a меньше числа b, если разность a-b — отрицательное число:

a 0 или a=b (то есть a-b≥0).

4)a≤b, если a-b

Сводится к оценке разности левой и правой частей неравенства и сравнение её с нулём.

1) Доказать неравенство: (a+9)(a-2)

Оценим разность левой и правой частей неравенства:

Оцениваем разность левой и правой частей неравенства:

(3x-5)²≥0 при любом значении переменной x.

Следовательно, (3x-5)²+23>0 при любом x.

Значит, неравенство 9x²+48>30x выполняется при любом действительном значении x.

Что и требовалось доказать.

3) Доказать неравенство: x²+y²+16x-20y+190>0.

(x+8)²≥0 при любом значении x,

(y-10)²≥0 при любом значении y,

Следовательно, (x+8)²+(y-10)²+26>0 при любых действительных значениях переменных x и y.

А это значит, что x²+y²+16x-20y+190>0.

Что и требовалось доказать.

II. Доказательство неравенств методом «от противного».

Высказываем предположение, что доказываемое неравенство неверно, и приходим к противоречию.

Предположим, что неравенство, которое нам нужно доказать, неверно. Тогда

Раскрываем скобки и упрощаем:

Поскольку (a1b2-a1b1)²≥0 при любых действительных значениях переменных, то -(a1b2-a1b1)²≤0. Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

III. Доказательство неравенств с помощью геометрической интерпретации.

Таким способом, например, можно доказать неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (частный случай неравенства Коши).

IV. Доказательство неравенств с использованием очевидных неравенств.

Доказать неравенство: a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Так при любых действительных значениях переменных (a-b)²≥0, (b-c)²≥0 и (a-c)²≥0, то очевидно, что (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²≥0.

Читайте также:  Зато я сдал проект картинка

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности и упрощаем:

Осталось перенести три слагаемые в правую часть:

Что и требовалось доказать.

V. Доказательство неравенств с помощью ранее доказанных неравенств.

Основные неравенства, на которые опираются при доказательстве других неравенств:

При a1= a2= …= an неравенство превращается в равенство.

  • Сумма положительных взаимно-обратных чисел не меньше двух:

Применяется также аналог неравенства для отрицательных взаимно-обратных чисел:

при x

Равенство достигается лишь в случае, когда числа xi и yi пропорциональны, то есть существует число k такое, что для любого i=1,2,…,n выполняется равенство xi=kyi.

где x>-1, n — натуральное число.

Равенство достигается лишь при x=0 и n=1.

  • Обобщённое неравенство Бернулли

Если x>-1, n — действительное число:

При 0

В обоих случаях равенство возможно лишь при x=0.

    Модуль суммы не превосходит суммы модулей

Равенство достигается, если a и b имеют одинаковые знаки (a≥0 и b≤0 либо a≤0, b≤0).

  • Модуль разности больше либо равен модуля разности модулей

1) Доказать неравенство при x>0, a>0, b>0, c>0:

Используем неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

для каждого из множителей:

Так как по условию x>0, a>0, b>0, c>0, то x+a>0, x+b>0, x+c>0 и

0,2sqrt > 0,2sqrt > 0. ]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>

Что и требовалось доказать.

2) Доказать неравенство:

Таким образом, для доказательства нашего неравенства надо показать, что

разделим обе части неравенства на 4 в двадцатой степени (при делении на положительное число знак неравенства не изменяется):

Применим неравенство Бернулли:

Так как в неравенстве

правая часть больше либо равна 6, это равенство верно. Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Помимо перечисленных, существуют другие способы доказательства неравенств (метод математической индукции и т.д.).

Умение доказывать неравенства применяется во многих разделах алгебры (например, метод оценки решения уравнений сводится к доказательству неравенств).

Ссылка на основную публикацию
Через какое время отключают сим карту мегафон
Часто можно слышать, что некоторые люди вместо одной сим-карты предпочитают пользоваться двумя или сразу несколькими. Это объясняется лояльной политикой компании...
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Через прямую l провести плоскость перпендикулярно данной
Не будет преувеличением утверждать, что построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей наряду с определением расстояния между двумя точками являются основными...
Adblock detector