Доказать клаузу аксиоматическим методом

Доказать клаузу аксиоматическим методом

Близким к методу резолюций является метод Вонга, в котором тоже исполь­зуется сконструированная конъюнктивно-дизъюнктивная нормальная форма представления исходной клаузы, а аксиому порядка заменяет клауза Вонга.

здесь Xпробегает некоторые буквы, входящие в клаузу,aLиR— определенные комбинации дизъюнктов и конъюнктов.

Конструктивная процедура доказательства сводится к последовательному разбиению дизъюнктов или конъюнктов таким образом, чтобы слева и справа от метаимпликации появилась одна и та же буква X. Если в результате такого раз­биения все конечные клаузы приобретают вид клаузы Вонга, то и исходная клау­за была составлена верно. Разберем метод Вонга на примере доказательства справедливостиправила отделения:

А, А -> В => В или A, -AvВ => В .

Здесь имеется только один дизъюнкт, который можно подвергнуть разбиению. После его разбиения получим две новых клаузы:

Вторая клауза удовлетворяет и аксиоме порядка и клаузе Вонга. В качестве Xв ней выступаетB,aL=AиR=0. Первая же клауза тоже будет удовлетворять необходи­мым требованиям, но только после того, как терм -А из левой части клаузы с противоположным знаком перенести в правую часть. Тогда будем иметь:

При большом числе букв в исходной клаузе прибегают к специальной нумерации производных клауз чтобы не запутаться. Пусть требуется установить справедли­вость следующей клаузы:

X v Y, (X -> Y) v U, Z -> (Y -> W) => (W -> X) -> (Z -> X).

Приведем ее в соответствующую конъюнктивно-дизъюнктивную нормаль­ную форму:

X v Y, -X v Y v U, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X .

Далее произведем разбиение первого дизъюнкта, в результате получим две производные клаузы:

X, -X v Y v U, -Z v –Y v W => W & -X; -Z; X

Y, -X v Y v U, -Z v –Y v W => W & -X; -Z; X

Клауза (1) отбрасывается, так как она удовлетворяет клаузе Вонга. Разбивая сле­дующий дизъюнкт клаузы (2), получаем еще три новых клаузы:

2.1. Y, -X, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

2.2. Y, Y, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

2.3. Y, U, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

Клаузы (2. 1) и (2. 2) сводятся к одной клаузе —

Y, -Z v -Y v W => W & -X; -Z; X

Произведем ее разбиение:

2.1.2. Y, Y => W & -X; -Z; X

2.1.3. Y, W => W & -X; -Z; X

Первые две клаузы удовлетворяют клаузе Вонга. У клаузы (2.1.3) нужно разбивать конъюнкт:

2.1.3.1. Y, W => W; -Z; X

2.1.3.2. Y, W => -X; -Z; X

Теперь обе клаузы имеют вид клаузы Вонга.

Но у нас осталась еще ветвь (2.3). Она отличается от рассмотренной ветви (наличием непарного терма U, который, однако, не может повлиять на конечный результат, т.е. разбиение клаузы (2.3) практически полностью совпадает с разбиением клаузы (2.1). Следовательно, исходная клауза была записана верно.

Метод натурального исчисления

Недостатком метода Вонга, как и метода резолюций, является то, что исходная клауза обязательно должна иметь нормальную дизъюнктивную или конъктивную форму. Этот недостаток преодолен в методе натурального исчисления, к которому мы переходим.

Доказательный вывод в натуральном исчислении строится как упорядоченная цепь преобразований, связанных с удалением или введением логических связок на основе следующих десяти правил:

1.8.1. Доказать методом натурального исчисления истинность следующей клаузы:

В -> (С -> А), -В -> D, С, -D => А .

Доказательство:

№ пп Выводы Почему
P => -B -> D Р2, БП
Р, -B => D 1, УИ
Р, -B => -D Р4, БП
Р, -B => 0 2, 3, УО
Р => В -> (С ->А) P1, БП
Р => С -> А 4, 5, УИ
Р => А 6, Р3, БП, УИ

1.8.2. Доказать аксиоматическим методом истинность клаузы:

А, В -> D, С -> D, А -> (В v С) => D .

Доказательство:

№ пп Выводы Почему
B -> D, C -> D, В v C => D MP
-B v D, -С v D, В v С => D
(-B & -C) v D, B v C => D
(В v С) -> D, В v С => D MP
(В v С), D => D

1.8.3. Доказать методом Вонга истинность следующей клаузы:

В -> (D -> С), D, С -> (A v В) => A v В .

1. В v -D v С, D, -C v A v B => A v B,

1. 1. В, D, -С v A v B, -A => B

1. 2. -D, D, -С v A v B, -A => B

1. 3. С, D, -С v A v B => A v В

1.3.1. C, D, -C => A v B

1.8.4. Доказать методом резолюций истинность следующей клаузы:

А -> В, С -> D, B -> E, D -> F, Е -> -F, А -> С => -А .

Приводим к нормальной конъюнктивной форме:

-A v В, -С v D, -В v Е, -D v F, -E v -F, -A v С, А => 0

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

№ пп Выводы Почему
-B v -F Р3, Р5
-C v F P2, P4
-A v -F 1, P1
-A v F 2, P6
3,4
5, Р7

1.8.5. Пусть задана система аксиом :

А2. 1 => (А -> (В -> С)) -> ((А -> В) -> (А -> С))

A3. 1 => (А -> В) -> ((А -> -В) -> -А)

и правило отделения (modus ponens)

С помощью этих аксиом и правила МР доказать справедливость закона реф­лексивности:

Доказательство (символы «1 => » здесь и в следующем примере писать не будем):

№ пп Выводы Почему
A ->((A -> A) -> A) A1
(А -> ((А -> А) -> А)) -> ((А -> (А -> А)) -> (А -> А)) А2
(А -> (А -> А)) -> (А -> А) 1, 2, МР
A -> (A -> A) A1
А -> А 3,4,МР

1.8.6. С помощью средств предыдущего примера доказать клаузу:

-X, -Y, Z -> X, S -> (Y v Z), (Т v U) -> S => -Т

Доказательство:

№ пп Выводы Почему
(Z -> X) = -Z v X = (-Z v Z) & (-Z v X) единица
(Z & X) v –Z = -(Z & X) -> -Z дистрибутивность
(Z -> -X) -> -Z импликация
(Z -> X) -> (Z -> -X) -> -Z рефлексивность
(Z -> -X) -> -Z 1, P3, MP
-X -> (Z -> -X) A1
(Z -> -X) P1, 6, MP
(S -> (-Y -> Z)) -> ((S -> -Y) -> (S -> Z)) A2
(S -> -Y) -> (S -> Z) 8, P4, MP
-Y -> (S -> -Y) A1
S -> -Y 10, P2, MP
S -> Z 9, 11, MP
(S -> Z) -> ((S -> -Z) -> -S) A3
(S -> -Z) -> -S 12, 13, MP
-Z -> (S -> -Z) А1
-Z 5, 7, MP
S -> -Z 15, 16, MP
-S 14, 17, MP
(Т v U) -> S = Т -> S, U -> S P5
(Т -> S) -> ((Т -> -S) -> -Т) A3
(T -> -S) -> -T 19, 20, MP
-S -> (T -> -S) A1
T -> -S 18, 22, MP
-T 21, 23, MP
Читайте также:  Как отключить сенсорную панель на windows 10

Е, Е -> D, D -> В => А -> В

А — Падение авторитета власти.

В — Политики, не способные управлять страной.

С — Нарастание анархии в обществе.

D — Высказывание абсурдных идей.

Е — Появление безответственных политиков.

«Падение авторитета власти происходит тогда и только тогда, когда нарастает анархия в обществе (А

С). Нарастание анархии в обществе равносильно появлению на политической арене безответственных политиков (С

Е). Появление подобных политиков приводит к тому, что они высказывают абсурдные идеи (Е -> D). Высказывание политиками таких идей демонстрирует неспособность их управлять страной (D -> В). Итак, падение авторитета власти приводит к появлению политиков, не способных управлять страной (А -> В)».

Клауза 2: А -> В, В -> Е, А -> С, С -> D, D -> F, -(Е & F) => -А

«Если человек занимается спортом (А), то он хочет быть здоровым (В). Хорошее здоровье (В) ведет к счастливой жизни (Е). Кроме того, если человек занимается спортом (А), то он, как правило, стремится достичь высоких спортивных результатов (С). Наличие высоких результатов (С) позволяет одерживать победы на соревнованиях (D). Победы на соревнованиях (D) влекут за собой всеобщее признание (F) . Однако, человек не хочет жить счастливо и иметь всеобщее признание -(Е л F). Значит, он не станет заниматься и спортом (-А)».

Клауза 3: J -> Н, К -> Н, I -> J, Н -> I, -Н => -J & -К

«Если знать язык программирования (J), то можно составить рабочую программу (Н). Рабочую программу можно также получить (Н) при условии наличия знакомого программиста (К). Овладеть языком программирования (J) можно, обучаясь в институте (I). Если программа работает (Н), то ее написал выпускник такого института (I). Но программа не работает (-Н). Это говорит о том, что желающий получить правильный результат не знает языка программирования (-J) и не имеет знакомых программистов (-К)

Клауза 4: А -> В, С -> D, В & D -> Е, А, -E => -С.

«Все живое способно чувствовать (А -> В). Всякое материальное тело занимает определенный объем (С -> D). Если нечто занимает пространственный объем и способно чувствовать, то это нечто есть ни что иное, как живой организм_(В л D -> Е). Пусть существует нечто живое (А), но не являющееся организмом (Е). Тог­да следует вывод, что это нечто нематериально (-С)».

Выше приведены легенды. Запишем клаузы, отвечающие тексту или кон­тексту этих легенд, для чего сформулируем необходимые посылки и два следст­вия: одно истинное, другое ложное. С помощью таблицы истинности найдем МНФ, минимальное и все трансверсальные покрытия (последнее задание вы­полнено только для варианта 21).

21. Если в одном месте что-то убудет, то в другом месте что-то прибудет — это истина, не требующая доказательства. Но есть такая теория, которая утверждает: где-то в далеком космосе существуют «черные дыры», куда все проваливается, но оттуда ничего не появляется. Эта теория ничего не говорит о существовании «белых дыр», которые действовали бы противоположно «черным». Один ино­странный астрономический журнал сообщил координаты «черной дыры». Рос­сийский астроном Иванов направил туда свой мощный телескоп и ничего не об­наружил, "Так-так, — сказал Иванов, — но «белую дыру» я все же открою".

Для варианта 21 можно предложить следующую клаузу:

В, С -> A, D -> В, С -> Е, Е => С -> В

А — Где-то что-то убыло

В — Где-то что-то прибыло

С — "Черная дыра " существует

D — "Белая дыра"существует

Е — Невозможность ничего увидеть

Исходную легенду допустимо трансформировать в близкую по смыслу и со­ставить таблицу истинности (табл. 1.23):

«Если в одном месте что-то убудет, то в другом что-то непременно прибудет, и наоборот (А

В). Если существует "черная дыра", то в нее все проваливается, то есть в ее окрестностях что-то убывает (С -> А). Если существует "белая дыра", то из нее в окружающее пространство должно прибывать вещество (D -> В). Если существует "черная дыра", то ее невозможно увидеть, так как она не излучает свет (С -> Е). Астроном ничего не увидел (Е). Итак, "белая дыра" существует (D).» Это — ложное умозаключение. Истинным же заключением является, на­пример, следующее: «Если существует "черная дыра", то где-то в пространстве вселенной должно непременно появляться вещество (С -> В)».

Из табл. 1.23 видно, что три единицы обобщенной посылки (Р) не покрывают­ся единицами ложного следствия (D); единицы же истинного следствия (С -> В) целиком накрывают единицы обобщенной посылки. По табл. 1.23 составим СДНФ:

А, В, С, D, Е; А, В, С, D, Е; А, В, С, D, Е;

А, В, С, D, Е; А, В, С, D, Е .

После преобразований получим следующую МДФ:

А, В, D, Е; А, В, С, D, E. Трансверсальные покрытия:

А; В, С, D, Е А, В; С, D, Е А, В, Е; С, D .

Минимальное покрытие: Е .

Таблица 1

A в V D E A — В C-> АП D -)- В С -> E p D С -* В I,
1 1 1 1 1 1 _ 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 г ч 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 о 1 1 1 1 •j 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 t 1 о 1 1 1
1 t 1 1 1 1 1
1 1 1 1 4 1 1 1 1 1
1 1 о 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 •1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 • 0 1
1 о 1 : o^ 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 I 1 1 1 1 1
1 1 1 A 1 1 1 1 1
1 1 1 о 1 t 1
1 1 1 1 0 I 1
о 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 1 о 1 1 o. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i о 1 1 1 1 1

Для варианта 22

22. Если в цепи будет большой перепад напряжения, то сгорит предохрани­тель, что повлечет за собой необходимость его замены. При целом предохрани­теле телевизор, конечно, будет работать, но только если он включен в сеть пита­ния. Если телевизор работает нормально, то я увижу сегодняшние «Новости». Итак, я смотрю телевизионные «Новости» при условии отсутствия перепада на­пряжения и подключения телевизора к сети питания.

Читайте также:  Разгон процессора amd fx 4330

можно составить следующую клаузу:

А -> В, В -> С, Е -> (-В -> D), D -> F => (-В & -А & Е) -> F

Введем следующие обозначения:

А — Возникновение перепада напряжения в сети

В — Перегорание предохранителя

С — Необходимость замены предохранителя

D — Телевизор работает нормально

Е — Телевизор подключен к сети питания

F — Я смотрю новости

«Если в сети был большой перепад напряжения, то сгорит предохранитель (А -> В). Если предохранитель сгорел, необходима его замена (В -> С). Если теле­визор включен в сеть, то телевизор работает нормально при условии целостно­сти предохранителя (Е -> (-В -> D)). Если телевизор работает нормально, я увижу "Новости" (D -> F). Я увижу "Новости" при условии отсутствия перепада напря­жения и подключения телевизора к сети питания ((-А & Е) -> F)). Данное следст­вие яатяегся ложным. Истинным же следствием будет: «Я увижу "Новости" при условии целостности предохранителя, отсутствия перепада напряжения в сети и подключения телевизора к сети питания ((-В & -А & Е) -> F)». Выделим ту строку табл. 1.24, для которой обобщенная посылка (Р) и истинное следствие ((-В & -А & Е) -> F) принимают значения единицы, а ложное следствие ((-А & Е) -> F) — зна­чение нуля.

Таблица 1.24

А!В С D Е F А-»В В-»С Е -> (В -> D) D -> F Р | (А & Е) -> F (В & А & Е) -> F
0|1 1 1 1 1 1 _j_ 1 tf J 1 •

Для варианта 23

23. «Иван Иваныч, можно?» — «Входи, Петров. Ну, сделал, что я тебя про­сил?» — «Видите ли. Если бы Вы немного прибавили. » — «Ты что, Петров! Си­доров за эту же работу берет в два раза меньше». — «Сидоров и сделал бы ее в два раза хуже. Я же работаю с личным клеймом. И потом, у меня семья — сами знае­те». — «ладно, проси что хочешь, но денег у меня нет». — «А как сделаю, на ры­балку отпустите?» — «Договорились, только ты моего Вовку с собой возьми, а то он тут с какой-то подозрительной компанией спутался». — «Если с Вовкой, то на Вашей лодке». — «Вот хитрец! Хорошо, поедем все вместе. Мне тоже не мешало бы проветриться. Ты дело только сделай».

допустимо составить следующую простую клаузу:

А -> В, В -> C, С -> D, D -> Е => А -> Е

A Работа выполнена
B Отпуск на рыбалку
C Взять на рыбалку сына
D Рыбалку провести с лодкой
E На рыбалку поедут все вместе

«Если работа выполнена, то начальство отпустит на рыбалку (А -> В). Если отпу­стят на рыбалку, то обязательно возьмут на нее и сына (В -> С). Если берут сына, значит надо брать лодку (С -> D). Если брать с собой лодку, то поедут все вместе (D -> Е). Таким образом, если работа выполнена, то все вместе едут на рыбалку (А -> Е)». Данное следствие является истинным. ложным следствием является,_очевидно, такое: «Если работа сделана, то все вместе на рыбалку не едут (А -> -Е)».

Для варианта 24

составим следующую клаузу:

А -> (В & С), С -» D, В -> (А -> Е), D -> (В v А) => (А & В) -> С. А — Уменьшение температуры.

В — Снижение давления. D — Снижение скорости.

С — Уменьшение объема. Е — Падение уровня.

«Уменьшение температуры приводит к снижению давления и уменьшению объема (А -> (В & С)). Увеличение объема приводит к росту скорости потока (С -> D). Повышение_давления приводит к падению уровня, если при этом уме­ньшать температуру (В -> (А -> Е)). Снижение_скорости приводит к уменьшению давления или росту температуры (D -> (В v А)). Технолог Иванов рассудил так: "Мне надо повысить давление при одновременном снижении скорости потока, поэтому я должен увеличить объем и температуру" ((А & С) -> (В & D))». Данное умозаключение является ложным. Истинным рассуждением будет, например, та­кое: «Уменьшение температуры и увеличение давления ведут к уменьшению

Для варианта 25 составим клаузу:

A v В v С, (С & D) -> Е, (A v В) -» Е, С -> D, =з- С -> Е.

А — Надеть брезентовые штаны. D — Взять с собой сумку.

В — Надеть шерстяное платье. Е — Великолепно смотрится.

С — Надеть пиджак и юбку с разрезом.

«Я могу надеть на себя брезентовые штаны или шерстяное платье или пидж и юбку с разрезом (A v В v С). Я буду выглядеть великолепно, если надену пи жак и юбку с разрезом и при этом возьму с собой сумку ((С & D) -+ Е). И наоб рот, я буду выглядеть ужасно, если надену на себя брезентовые штаны или ше стяное платье ((A v В) -> Е). Однако сумку надо брать обязательно, если наде пиджак и юбку с разрезом (С -> D). Итак, чтобы выглядеть великолепно я выб раю последнее, т.е. надену на себя пиджак и юбку с разрезом (С -» Е)». Дани заключение является истинным. ложным может быть, например, такое: «Что! выглядеть великолепно, нужно надеть на себя брезентовые штаны (А -> Е)»,

6 фактов о проблеме математических доказательств, программе Гильберта и смысле в математике

Grant Hutchinson

1. Аксиомы: два понимания

Как мы помним из школы, математические доказательства, аксиомы и теоремы появились в Древней Греции. Аксиоматическое построение геометрии было канонизировано в книге, по которой обучались математике многие поколения, — в «Началах» Евклида. Впрочем, в те времена понятие аксиомы понималось по-иному, чем теперь. До сих пор в школьных учебниках иногда говорится, что аксиомы — это очевидные истины, принимаемые без доказательства. В XIX веке это понятие сильно изменилось, потому что ушло слово «очевидные». Аксиомы перестали быть очевидными, они по-прежнему принимаются без доказательства, но могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. За этим небольшим, на первый взгляд, изменением стоит достаточно радикальная смена философской позиции — отказ от признания одной-единственной возможной математической реальности. Главную роль в таком изменении, безусловно, сыграла история возникновения неевклидовой геометрии, которая произошла в XIX веке благодаря работам таких ученых, как Н. И. Лобачевский и Я. Бойяи.

Читайте также:  Пропал значок микрофона в яндексе
2. Проблема аксиомы о параллельных прямых

3. Геометрия Лобачевского

Лишь в XIX веке было осознано, что, быть может, это утверждение на самом деле недоказуемо и существует какая-то другая, совсем отличная от нашей геометрия, в которой эта аксиома неверна. Что сделал Лобачевский? Он поступил так, как поступают часто математики, пытаясь доказать какое-то утверждение. Излюбленный прием — доказательство от противного: предположим, что данное утверждение неверно. Что же отсюда следует? Для доказательства теоремы математики пытаются вывести из сделанного предположения противоречие. Но в данном случае Лобачевский получал все новые математические, геометрические следствия из сделанного предположения, но они выстраивались в очень красивую, внутренне согласованную систему, которая тем не менее отличалась от привычной нам евклидовой. Перед его глазами разворачивался новый, непохожий на привычный нам мир неевклидовой геометрии. Это и привело Лобачевского к осознанию того, что такая геометрия возможна. При этом аксиома о параллельных в геометрии Лобачевского явно противоречила нашей обыденной геометрической интуиции: она не только не была интуитивно очевидной, но была с точки зрения этой интуиции ложной.

Однако одно дело представить себе, что такое в принципе возможно, а другое — доказать строго математически, что такая система аксиом для геометрии непротиворечива. Это было достигнуто еще на несколько десятилетий позже в трудах других математиков — Бельтрами, Клейна и Пуанкаре, которые предложили модели аксиом неевклидовой геометрии в рамках обычной евклидовой геометрии. Они фактически установили, что противоречивость геометрии Лобачевского влекла бы противоречивость привычной нам евклидовой геометрии. Верно и обратное, то есть с точки зрения логики обе системы оказываются совершенно равноправными.

Сказав это, необходимо сделать одну оговорку. История неевклидовой геометрии хорошо иллюстрирует еще одно явление, наблюдаемое не один раз в истории науки. Иногда решение какой-либо проблемы возникает не после, а до того, как сама проблема получает точную, хорошо осознаваемую всеми формулировку. Так было и в данном случае: в середине XIX века полного списка аксиом элементарной геометрии еще не существовало. «Начала» Евклида не были достаточно последовательными с точки зрения воплощения аксиоматического метода. Многие рассуждения Евклида апеллировали к зрительной интуиции, его аксиом было явно недостаточно даже для осмысленной постановки задачи о недоказуемости постулата о параллельных. В похожем положении были и Лобачевский с Бойяи, и Бельтрами с Клейном и Пуанкаре. Постановка задачи о недоказуемости на должном уровне строгости требовала развития совершенно нового аппарата математической логики и того самого аксиоматического метода.

4. Создание аксиоматического метода

Ситуация была осмыслена после выхода книги Д. Гильберта «Основания геометрии», он и предложил то понятие аксиоматического метода, с которого мы начали. Гильберт понял, что для того, чтобы разобраться с основаниями геометрии, необходимо полностью исключить из аксиом все, кроме логики. Он красочно выразил эту мысль следующим образом: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!

Именно Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для элементарной геометрии, это произошло в самом конце XIX века. Таким образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических, утверждений.

Гильберт был горд своим открытием и думал, что этот метод можно распространить на всю математику в целом: не только на элементарную геометрию, но и на арифметику, анализ, теорию множеств. Он провозгласил «программу Гильберта», целью которой было разработать системы аксиом для всех частей математики (и даже частей физики) и затем установить непротиворечивость математики ограниченными средствами. Как только Гильберт осознал возможности аксиоматического метода, казалось, что для такого развития открыта прямая дорога. Гильберт даже произнес в 1930 году знаменитую фразу, которая в переводе на русский язык звучит как «Мы должны знать, и мы будем знать», имея в виду, что все, что математики должны знать, они рано или поздно узнают. Эта цель, однако, оказалась неосуществимой, что выяснилось значительно позже. Что самое удивительное: теорема, которая фактически опровергла эти надежды, а именно теорема Курта Гёделя о неполноте, была провозглашена на той же самой конференции, в 1930 году, на которой Гильберт произнес свою знаменитую речь, ровно за день до этого события.

5. Возможности аксиоматического метода

Аксиоматический метод Гильберта позволяет построить математические теории на четко выделенных математических утверждениях, из которых прочие получаются логическим путем. Гильберт на самом деле пошел дальше и решил, что сведение математики к логике можно продолжить. Можно дальше задать вопрос: «А можно ли избавиться от объяснения смысла того, что такое логическая операция?» Саму логику можно убрать из аксиоматического метода. От аксиоматических теорий мы переходим к формальным аксиоматическим теориям — это теории, записанные в символьном виде, при этом математика превращается уже не просто в последовательность логических выводов, а в некоторую игру переписывания формальных выражений по определенным правилам. Именно эта игра, абсолютно лишенная смысла, если смотреть на нее наивно, дает точную математическую модель того, что такое «доказательство». С помощью анализа этой игры можно доказывать, что математические теоремы невозможно доказать. Но главное: в результате формализации математики впервые построили полностью формализованные языки, которые привели к созданию языков программирования, языков баз данных. Современное развитие компьютерных технологий в конечном счете базируется на открытиях, которые были совершены в математике в начале XX века.

Ссылка на основную публикацию
Вычитание в пятеричной системе счисления
Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления. Пятеричная система счисления Сложение Составим таблицу сложения для...
Восстановить забытый пароль ржд
Если Вы знаете логин и пароль, а войти на сайт РЖД у Вас не получается, то зайдите на сайт РЖД...
Вызов на ivr положительный ноль что это
Положительный ноль — это сервис, позволяющий абонентам МТС оставаться на связи, даже если баланс их лицевого счета отрицателен или равен...
Готика 1 как продавать предметы
Заберитесь в воду. Первое, что стоит знать о воде, это то, что если рядом с вами будут враги, вы не...
Adblock detector