Формула главных максимумов дифракционной решетки

Формула главных максимумов дифракционной решетки

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракциисвета, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность.

Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d. Если известно число штрихов (N), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: d = 1 / N мм.

Формула дифракционной решётки:

Где d — период решётки, α — угол максимума данного цвета, k — порядок максимума, λ — длина волны.

Если число зон Френеля четное, то

и в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота), если же число зон Френеля нечетное, то

и наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в направлении j = 0 щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в точке В наблюдается центральный дифракционный максимум.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны. При освещении щели белым светом центральный максимум наблюдается в виде белой полоски; он общий для всех длин волн (при j = 0 разность хода равна нулю для всех l). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие максимума при любых m различно для разных l.

23)—Дифракция рентгеновских лучей. Рентгеноструктурный анализ. Формула Вульфа-Брэггов.

Дифракция рентгеновских лучей, рассеяние рентгеновских лучей кристаллами (или молекулами жидкостей и газов), при котором из начального пучка лучей возникают вторичные отклонённые пучки той же длины волны, появившиеся в результате взаимодействия первичных рентгеновских лучей с электронами вещества; направление и интенсивность вторичных пучков зависят от строения рассеивающего объекта. Дифрагированные пучки составляют часть всего рассеянного веществом рентгеновского излучения.

Рентгенострукту́рный ана́лиз (рентгенодифракционный анализ) — один из дифракционных методовисследования структуры вещества. В основе данного метода лежит явлениедифракциирентгеновских лучейна трехмерной кристаллической решетке.

Метод позволяет определять атомнуюструктуру вещества, включающую в себяпространственную группуэлементарной ячейки, ее размеры и форму, а также определить группусимметрии кристалла.

Рентгеноструктурный анализ и по сей день является самым распространенным методом определения структуры вещества в силу его простоты и относительной дешевизны.

Формуле Вульфа — Брэггов

т. е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн А, наблюдается дифракционный максимум.

d — период решётки, α — угол максимума данного цвета,

k — порядок максимума, λ — длина волны.

Формула Вульфа — Брэггов используется при решении двух важных задач:

Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической структуре неизвестного строения и измеряя θ и от, можно найти межплоскостное расстояние (d), т. е. определить структуру вещества. Этот метод лежит в основе рентгеноструктурного анализа. Формула Вульфа — Брэггов остается справедливой и при дифракции электронов и нейтронов. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции электронов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтронографией.

Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на кристаллической структуре при известном d и измеряя q и m, можно найти длину волны падающего рентгеновского излучения. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.

для сферической волны

,

где а —расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света;b расстояние диафрагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины;k номер зоны Фре­неля; λ длина волны;

для плоской волны

.

• Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов интенсивности света

Читайте также:  Программа для сканера samsung scx 3400

,k=1,2,3,…,

где а —ширина щели; φ— угол дифракции;k номер минимума;

Условие максимумов интенсивности света

, k=l, 2, 3,…,

где φ’ — приближенное значение угла дифракции.

• Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие главных максимумов интенсивности

где d— период (постоянная) решетки;k —номер главного макси­мума; φ —угол между нормалью к поверхности решетки и нап­равлением дифрагированных волн.

• Разрешающая сила дифракционной решетки

,

где Δλ— наименьшая разность длин волн двух соседних спектраль­ных линий (λ и λ+Δλ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки;N —число штрихов решетки;k —порядковый номер дифракцион­ного максимума.

• Угловая дисперсия дифракционной решетки

,

линейная дисперсия дифракционной решетки

.

Для малых углов дифракции

,

где f— главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экра­не дифрагирующие волны.

• Разрешающая сила объектива телескопа

,

где β — наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек в фокальной плос­кости объектива могут быть видны раздельно; D —диаметр объек­тива; λ длина волны.

• формула Вульфа — Брэгга

2d sin =kλ,

где d расстояние между атомными плоскостями кристалла;— угол скольжения (угол между направлением пучка параллель­ных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), опре­деляющий направление, в котором имеет место зеркальное отраже­ние лучей (дифракционный максимум).

Примеры решения задач

Пример 1.На диафрагму с круглым отверстием радиусомr=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояниеbmaxот центра от­верстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пят­но.

Решение.Расстояние, при котором будет видно темное пят­но, определяется числом зон Фре­неля, укладывающихся в отвер­стии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины бу­дет темное пятно.

Число зон Френеля, помещаю­щихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля.

Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения Oна экране до края отверстия на 2(λ/2)больше, чем расстояниеbmax.

По теореме Пифагора получим

.

Учтя, что λ 2 , можно пренеб­речь, последнее равенство перепишем в виде

r 2 =2λbmax. откудаbmax=r 2 /(2λ). Произведя вычисления по последней формуле, найдем

Пример 2.На щель ширинойа=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширинуlцентрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, нахо­дящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от лин­зы на расстоянииL=lм.

Решение. Центральный максимум интенсивности света за­нимает область между ближайшими от него справа и слева миниму­мами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 31.2).

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами φ, определяемыми условием

где k порядок минимума; в нашем случае равен единице.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим не­посредственно по чертежу: l=2Ltgφ. Заметив, что при малых уг­лахtgφsinφ, перепишем эту формулу в виде

Читайте также:  Не работают кнопки громкости на earpods

Выразим sinφ из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

Произведя вычисления по фор­муле (3), получим l=1,2 см.

Пример 3.На дифракционную решетку нормально к ее поверх­ности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки лин­за проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы наL=lм. Расстоя­ниеlмежду двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постояннуюdдифракционной решетки; 2) числоnштрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φmахотклонения лучей, соот­ветствующих последнему дифракционному максимуму.

Решение 1. Постоянная dдифракционной решетки, длина волныλи угол φ отклоне­ния лучей, соответствую­щийk-му дифракционному максимуму, связаны соот­ношением

где k— порядок спектра, или в случае монохрома­тического света порядок максимума.

В данном случае k=1, sinφ=tgφ (ввиду того, чтоl/2 3 см -1 .

3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракцион­ной решеткой, вычислим сначала максимальное значение kmaxисходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°.

Из формулы (1) запишем

. (2)

Подставляя сюда значения величин, получим

Число kобязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значенииsinφ должен быть больше единицы, что невозможно. Следователь­но,kmах=9.

Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному kmах,т. е. всего 2kmах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число мак­симумов

4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выра­зим из соотношения (2) синус этого угла:

Подставив сюда значения величин λ, d,kmахи произведя вычис­ления, получим

31.1.Зная формулу радиусаkй.зоны Френеля для сферической волны (ρk=), вывести соответствующую формулу для плоской волны.

31.2.Вычислить радиус ρ5пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (λ=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянииb=1 м от фронта волны.

31.3.Радиус ρ4четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиусρ6шестой зоны Френеля.

31.4.На диафрагму с круглым отверстием диаметромd=4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (λ=0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянииb=1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифрак­ционной картины, если в месте наблюдений поместить экран?

31.5.Плоская световая волна (λ=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметромd=lсм. На каком рас­стоянииbот отверстия должна находиться точка наблюдения, что­бы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля?

31.6.Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстоянияхbi,от его центра, наблю­даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функцииb=f(r, λ, п),гдеr— радиус отверстия; λ — длина волны;п —чис­ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в кото­рых наблюдаются минимумы интенсивности.

Читайте также:  Как называется устройство хранения программ и данных

31.7.Плоская световая волна (λ=0,7 мкм) падает нор­мально на диафрагму с круг­лым отверстием радиусомr=1,4 мм. Определить рас­стоянияb1,b2,b3от диафраг­мы до трех наиболее удален­ных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсив­ности.

31.8.Точечный источникSсвета (λ=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусомr=1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а=1 м). Определить расстояниеbот экра­на до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точкиР три зоны Френеля.

31.9.Как изменится интенсивность в точкеР(см. задачу 31.8), если убрать диафрагму?

Широкое распространение в научном эксперименте и технике получили дифракционные решетки, которые представляют собой множество параллельных, расположенных на равных расстояниях одинаковых щелей, разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и фактически играют роль щелей.

Рассмотрим сначала дифракцию света от решетки на примере двух щелей. (При увеличении числа щелей дифракционные максимумы становятся лишь более узкими, более яркими и отчетливыми.)

Пусть а — ширина щели, a b ширина непрозрачного промежутка (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Дифракция от двух щелей

Период дифракционной решетки — это расстояние между серединами соседних щелей:

Разность хода двух крайних лучей равна

Если разность хода равна нечетному числу полуволн

то свет, посылаемый двумя щелями, вследствие интерференции волн будет взаимно гаситься. Условие минимумов имеет вид

Эти минимумы называются дополнительными.

Если разность хода равна четному числу полуволн

то волны, посылаемые каждой щелью, будет взаимно усиливать друг друга. Условие интерференционных максимумов с учетом (5.36) имеет вид

Это формула для главных максимумов дифракционной решетки.

Кроме того, в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, то есть главные минимумы решетки будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием (5.21) для одной щели:

Если дифракционная решетка состоит из N щелей (современные решетки, применяемые в приборах для спектрального анализа, имеют до 200 000 штрихов, и период d = 0.8 мкм, то есть порядка 12 000 штрихов на 1 см), то условием главных минимумов является, как и в случае двух щелей, соотношение (5.41), условием главных максимумов — соотношение (5.40), а условие дополнительных минимумов имеет вид

Здесь k’ может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N, . . Следовательно, в случае N щелей между двумя главными максимумами располагается (N–1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами, создающими относительно слабый фон.

Положение главных максимумов зависит от длины волны l. Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разлагаются в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный — наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Заметим, что в то время как спектральная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, наоборот, сильнее отклоняет красные лучи.

Важной характеристикой всякого спектрального прибора является разрешающая способность.

Разрешающая способность спектрального прибора — это безразмерная величина

Ссылка на основную публикацию
Утилиты асус для ноутбука
Драйверы и утилиты от производителя для ноутбуков и нетбуков ASUS под операционную систему Windows 10 / 8.1 / 8 /...
Теплопроводность олова и меди
Все изделия, используемые человеком, способны передавать и сохранять температуру прикасаемого к ним предмета или окружающей среды. Способность отдачи тепла одного...
Терминальные лицензии windows server 2008 r2
Установка сервера терминалов в 2008/2008R2 2 часть / активация сервера терминалов 2008 r2 Установка сервера терминалов в 2008/2008R2 2 часть...
Утилиты для виндовс 10 64 бит
Скачать антивирус NOD32 на компьютер Windows 10 бесплатно на русском языке для защиты ноутбука или ПК от вирусов и потенциального...
Adblock detector