Как найти угол между градиентами

Как найти угол между градиентами

1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).

2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:

Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.

Замечание 2.1.Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор

(2.3)

лежит в плоскости oxy.

Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:

а) grad( )= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;

в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;

д) gradU( = gradU, где , U=U( ) имеет производную по .

Пример 2.1.Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

,

.

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.

Пример 2.2.Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости

x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.

Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).

Решение. Имеем:

Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .

Решение.Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что

. Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение

, где

.

Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.

Решение. Пусть

Тогда: . По правилу дифференцирования определителя получаем

Читайте также:  Kernel pnp что это

Пример 2.6.Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) — изучаемая точка поля, P(x,y,z) — некоторая фиксированная точка.

Решение. Имеем — единичный вектор направления .

Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М(1,1).

Решение. Находим градиенты данных функций в точке М(1,1), имеем

; Угол между gradU и gradV в точке М определяется из равенства

Отсюда =0.

Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен

(2.4)

Решение.Находим градиент этой функции:

+ (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.4), получим

Пример 2.9. Найти в точке М(1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.

Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:

И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М(1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

.

Пример 3.1.Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.

Решение.Имеем так что

Дифференциальные уравнения векторных линий

(3.3)

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим

, отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит

x 2 +y 2 +z 2 =A1, A1-const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с1, второй –на с2, третий на с3 и сложив почленно, получим

, откуда с1dx+c2dy+c3dz=0

Искомые уравнения векторных линий

Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.

Читайте также:  Как исправить ошибку smartsteamemu

Пример 3.2.Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий

отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c2.

Как найти?

Постановка задачи

Найти градиент функции $ f(x,y,z) $ в точке $ M(x_0,y_0,z_0) $

План решения

Градиент функции $ f(x,y,z) $ — это вектор, каждая координата которого является частной производной первого порядка этой функции:

Примеры решений

Вычисляем значение производных в точке $ M(2,1,1) $:

Подставляем в формулу градиента функции полученные данные:

$$ grad f = 1 cdot overline + 1 cdot overline + 1 cdot overline = overline+overline+overline $$

Запишем ответ в координатной форме:

$$ grad f = overline+overline+overline = (1,1,1) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти градиент функции $ u = x + ln (z^2+y^2) $ в точке $ M(2,1,1) $
Решение
Ответ
$$ grad f = (1,1,1) $$

Находим частные производные:

Вычисляем значения производных в точке $ M igg (frac<pi><2>,frac<3pi><2>,3 igg ) $:

Подставляем вычисленные недостающие данные в формулу и получаем:

$$ grad f = 3 cdot overline+ 1 cdot overline + frac<pi> <2>cdot overline = 3overline+overline+frac<pi> <2>overline $$

Ответ

Найти косинус угла между градиентами скалярных полей u=6x^2+y^2+3z^2, v=1/(6x+y+3z) в точке Мo (-5;3;-2)

u’x=12x=-5*12=-60 u’y=2y=2*3=6 u’z=6z=-6*2=-12
grad u = (-60;6;-12)

v= (6x+y+3z)⁻¹ v’x=-6/(6x+y+3z)²=-6/(-5*6+3-5)²=-6/1024
v’y=-1/(-5*6+3-5)²=-1/1024 v’z=-3/1024
grad v = (-6/1024;-1/1024;-3/1024)

скалярное произведение (grad u,grad v)=60*6/1024-6/1024+36/1024=
=1/1024(360-6+36)=390/1024=195/512
|grad u|=√(3600+36+144)= √3780=2√945
|grad v|=1/1024√(36+1+9)=√46/1024

cosa=(grad u,grad v)/|grad u|*|grad v|
195/512 195*1024 195
cosa = ————————- = ————- ≈ 0.93
512*2√945*√46 √945*√46

Пример 2
Найти градиент функции $ u = sin(x+2y)+2sqrt $ в точке $ M igg (frac<pi><2>,frac<3pi><2>,3 igg ) $
Решение
Ссылка на основную публикацию
Как изменить цвет рисунка в ворде
Несмотря на то, что Microsoft Word — это программа для работы с текстовыми документами, графические файлы в нее тоже можно...
Как восстановить удаленную сеть wifi
При подключении какого-либо устройства к беспроводной сети, оно по умолчанию сохраняет параметры этой сети (SSID, тип шифрования, пароль) и в...
Как выключить голос на телевизоре самсунг
Здравствуйте,у меня исчезли все приложения с библиотеки,как их вернуть,чтобы освободить память,там написано:нет данных, здесь вы сможете найти приложения которые удалите...
Как исправить ошибку smartsteamemu
Файл smartsteamemu.dll из SmartSteam является частью SmartSteamEmu. smartsteamemu.dll, расположенный в cprogram files (x86)coop-landstronghold crusader 2binwin32_releasesmartsteamemu.dll с размером файла 1295872 байт,...
Adblock detector