На кафедре математики 9 преподавателей сколькими способами

На кафедре математики 9 преподавателей сколькими способами

Представим, что из элементов множества Е= мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, но выбрав элемент, мы возвращаем его снова в дано множество и можем выбирать его ещё и ещё раз. Пусть в этом случае нам не важен порядок элементов (как в сочетаниях). При этом мы будем получать комбинации ааb, aba, aac и т.д. Первые две из них мы считаем одинаковыми, так как порядок следования элементов нам в данном случае не важен. Третья же комбинация отлична от первых двух.

Если опыт состоит в выборе с повторениями (с возращением) m элементов из множества E = <а12,…аn> без учёта порядка выбора, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m элементные наборы, отличающиеся составом элементов. Получаемые в результате данного опыта комбинации называются сочетаниями с повторениями из n элементов по m, их число обозначается .

Рассмотрим следующую задачу:

В магазине имеются коробки конфет трёх видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти коробок?

В задаче требуется установить число выборок, состоящих из пяти элементов, среди которых непременно будут повторяющиеся. Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали коробок конфет первого вида. Потом напишем ноль. Дальше запишем столько единиц, сколько заказали коробок, заказали коробок конфет третьего вида.

Например, если заказали две коробки конфет первого вида одну – второго вида и две – третьего вида, то это событие зашифруется так 1101011

Если коробок второго и третьего наименования совсем не заказали, то этот факт будет отмечен двумя нулями на конце шифра: 1111100.

Событию «заказано четыре коробки конфет второго вида и одна – третьего» соответствует шифр 0111101.

Нетрудно заметить, что каждый «зашифрованный» заказ представляет собой комбинацию пяти единиц и двух нулей. Число способов выбора заказа равно числу перестановок с повторениями элементов множества

F = <1, 1 ,1, 1, 1, 0, 0>. В этом множестве единица повторяется 5 раз, а ноль – 2 раза, и, применяя формулу для числа перестановок с повторениями находим искомое число комбинаций:

Задачи для самостоятельного решения

1. Первого сентября на 1 курсе одного из факультетов запланировано по расписанию 3 лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Сколько существует способов составить расписание на 1 сентября?

2. На кафедре математики 9 преподавателей. Сколькими способами можно составить расписание консультаций на 9 дней, если каждый преподаватель даёт консультацию ровно один раз?

3. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано разных стартовых пятёрок?

4. 7 членов профсоюзного комитета должны избрать из своего состава председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

5. 25 учителей, встретившись на педагогической конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано всего рукопожатий?

6. В группе студентов 25 человек. Необходимо избрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

7. Сколько существует различных четырёхзначных чисел с неповторяющимися цифрами?

8. Сколько существует трехзначных чисел в десятичной системе исчисления?

9. Для передачи сигналов на корабле вывешиваются одно под другим три разноцветных полотнища. Сколько разных сигналов можно передать при наличии белого, жёлтого, красного, зелёного, синего и черного полотнищ?

11. 25 выпускников школы решили обменяться фотокарточками. Сколько было заказано всего фотокарточек?

12. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков (русского, английского, французского немецкого и испанского) на любой другой из этих пяти языков?

13. На окружности отмечено 8 различных точек. Сколько различных хорд можно провести, соединяя любые две из этих точек?

14. Сколькими способами можно из 15 солдат и 4 офицеров назначить в патруль трёх солдат и одного офицера?

15. Для полёта в космос необходимо укомплектовать следующий экипаж: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и врач. Командная тройка может быть отобрана из 25 готовящихся к полёту лётчиков, два бортинженера – из 20 специалистов, врач – из 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?

18. У одного человека есть 7 книг по математике, у другого – 9. Сколькими способами они могут обменять книгу одного на книгу другого? Сколько существует способов обмена двух книг одного на две книги другого?

19. Пусть в некоторой стране номер автомобиля составляется из двух букв, за которыми следуют две цифры, например: АВ-53. Сколько различных номеров можно составить, если использовать 5 букв и 6 цифр?

21. Из 4 инженеров и 9 экономистов составляют комиссию, состоящую из 7 человек. Сколькими способами это можно сделать, если в комиссию должны войти хотя бы 2 инженера?

22. Четыре студента сдали экзамен. Известно, что все они получили положительные оценки. Сколько может быть вариантов распределения оценок?

23. У Серёжи остались от полного набора штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все свои книги пятизначные номера – составить каталог. Первая книга получила номер 11111, следующая – 11113 и т.д. Сколько различных пятизначных номеров может составить Серёжа?

Читайте также:  Тариф билайн позвони маме 2011

24.Мама купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Она каждый день даёт сыну с собой по одному фрукту. Сколькими способами она может выдать сыну фрукты?

28. Сколько различных упорядоченных комбинаций можно образовать из букв слова «живопись»? Сколько таких комбинаций можно образовать из букв слова «гамма», из букв слова «соединение»?

30. Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2?

31. Для несения почётного караула приглашаются 10 служащих из 6 родов войск. Сколькими способами может быть избран состав караула, если в нём не обязательно должны быть представлены все рода войск?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемvvsu.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: " Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 10. Тема: Основные принципы комбинаторики. Цель: Ознакомиться." — Транскрипт:

1 Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 10. Тема: Основные принципы комбинаторики. Цель: Ознакомиться с основными принципами комбинаторики, основными определениями комбинаторики и примерами задач на данную тему.

2 Комбинаторика Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские ученые Паскаль и Ферма. Дальнейшие развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера.

3 Принципы комбинаторики Принцип сложения Основные принципы комбинаторики: Принцип сложения. Принцип умножения. Принцип сложения Задача 1: В классе 7 девочек и 8 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать 1 человека для работы у доски? Решение: Для работы у доски мы можем выбрать девочку 7 способами или мальчика 8 способами. Общее число способов равно 7+8=15. Задача 2: В классе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек – «5» по истории, 4 человека имеют «5» и по математике и по истории. Сколько человек имеют пятерку по математике или по истории? Решение: Так как 4 человека входят и в семерку отличников по математике и в девятку отличников по истории, то сложив «математиков» и «историков», мы дважды учтем этих четверых, поэтому вычтя их один раз из суммы, получим результат 7+9-4=12. Итак, 12 человек имеют пятерку по математике или по истории.

4 Принцип сложения Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. Принцип сложения 2: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов.

5 Принцип умножения Задача: На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее? Решение: Для каждого варианта подъема на гору существует 5 вариантов спуска с горы. Значит всего способов подняться на гору и спуститься с нее 55=25. Принцип умножения: если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a и b» можно получить mn способами.

6 Задачи 1) Из 10 коробок конфет, 8 плиток шоколада и 12 пачек печенья выбирают по одному предмету для новогоднего подарка. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Коробку конфет можно выбрать 10 способами, шоколад – 8, печенье – 12 способами. Всего по принципу умножения получаем способов.

7 Задачи 2) В классе 24 человека. Из них 15 человек изучают английский язык, 12 – немецкий язык, 7 – оба языка. сколько человек не изучают ни одного языка? Решение. По принципу сложения 2 получим количество людей, изучающих английский или немецкий =20. Из общего числа учеников класса вычтем полученное количество людей =4. 4 человека не изучает ни одного языка

8 Задачи 1) Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 20 боксеров каждое, надо выделить по одному боксеру для участия в состязаниях. Сколькими способами это можно сделать? Решение. По принципу умножения

9 Задачи 2) Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную букву в слове «экзамен»? Решение. В слове «экзамен» 3 гласные буквы и 4 согласные. По принципу умножения

10 Задачи 3) В классе 20 человек, из них 9 человек изучают язык программирования Бейсик, и 8 человек изучают Паскаль. Сколько человек не изучают языки программирования, если известно, что других языков в этом классе не изучают и каждый человек знает не более одного языка программирования? Решение. По принципу сложения получим, что 9+8=17 человек изучают языки программирования =3 человека не изучают языки программирования.

Читайте также:  Не работают гифки в яндекс браузере

11 Задачи 4) От дома до школы существует 6 маршрутов. Сколькими способами можно дойти до школы и вернуться, если дорога «туда» и «обратно» идет по разных маршрутам? Решение. По принципу умножения

12 Задачи 5) Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника истории нужно выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать? Решение. По принципу умножения

13 Задачи 6) В корзине лежат 15 яблок и 10 апельсинов. Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял яблоко или если он взял апельсин? Решение. Если Яша взял яблоко, то по принципу умножения Полина может осуществить свой выбор способами. Если Яша взял апельсин, то — способами. В первом случае у Полины свобода выбора большая.

14 Размещения Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество. Составим все 2- размещения этого множества.

15 Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: 1) выбор первого элемента n способами; 2) выбор второго элемента (n-1) способами; и т. д. k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

16 Число размещений Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде Действительно

17 Пример Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные? Решение. Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

18 Размещения с повторениями Определение 2 Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов возможно с повторениями. Пример Дано множество Составим 2- размещения с повторениями:

19 Число размещений с повторениями Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из n элементов вычисляется по формуле Доказательство. Каждый элемент размещения можно выбрать n способами. По правилу умножения число всех размещений с повторениями равно

20 Пример Сколько существует номеров машин? Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно. Число перестановок цифр равно. По правилу умножения получим число номеров машин

21 Перестановки Определение 1 Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов Пример 1 Дано множество. Составить все перестановки этого множества. Решение.

22 Число перестановок Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно n! Замечание. Например, Считают, что 0!=1 читается «n факториал» и вычисляется по формуле

23 Число перестановок Доказательство теоремы 1. Любую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий: 1)выбор первого элемента n различными способами, 2)выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом, 3)выбор третьего элемента (n-2) способами, …… n) выбор n-го элемента 1 способом. По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно Теорема доказана.

24 Перестановки Число всех перестановок обозначается Итак, Пример В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия? Решение Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

25 Перестановки с повторениями Теорема 2 Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле где Доказательство. Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

26 Пример Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»? Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

27 Задачи 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если у них различные инициалы? Решение Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

28 Задачи 2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом? Решение Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

29 Задачи 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно? Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Читайте также:  Плов в мультиварке bork u800 рецепт

30 Задачи 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

31 Задачи 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны? Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е возможны 9 вариантов цифры. В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3 По правилу умножения получим

32 Задачи 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

33 Задачи 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома? Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

34 Задачи 8)Сколько чисел, меньше можно написать с помощью цифр 2,7,0? Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями

35 Вопросы: Является ли перестановка – размещением? Сравнить выражения А и А Перечислите основные принципы комбинаторики. Сколькими способами могут совершить обмен 1 диска два студента, если у одного 7 дисков, а у другого 5?

Раздел Математика
Класс
Тип Другие методич. материалы
Автор Волкова О.М.
Дата 26.10.2015
Формат docx
Изображения Есть

«Приёмы решения комбинаторных задач»

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго — любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго — город В, а второй раз — наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190

В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

11-вариантов выбора капитана, 10-вариантов выбора заместителя

11

На кафедре математики 9 преподавателей. Сколько существует вариантов составления расписания консультаций на 9 дней, если каждый преподаватель дает консультацию ровно один раз.

Число способов равно числу перестановок из 9 элементов, т.е. Р9=9!=9=362880

2.3. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько вариантов такого маршрута может составить фирма?

Для каждого из трех городов существует 2 варианта маршрута по оставшимся городам.

Значит 2

2.4. В цветочном ларьке осталось только 4 гвоздики: красная, розовая, желтая и фиолетовая, а также 3 розы: бордовая, красная, желтая. К продавцу подошел мужчина и заказал букет из двух гвоздик и одной розы, который он собирался подарить одной экстравагантной особе. Продавец был озадачен: "Сколько же у меня существует возможностей составления такого букета, и какой из вариантов больше понравится этой особе ?"

Выбрать 2 гвоздики из 4 имеющихся можно способами, 1 розу из 3 имеющихся можно способами. Тогда букет из двух гвоздик и одной розы можно составить 63=18 способами.

2.5. Для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать 6 номеров из 45. Сколько существует вариантов заполнения карточки "Спортлото"?

Решение. Нам нужно отметить какие-то 6 из 45 номеров. Это можно сделать способами.

= 8145060

3.1. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Решение: Первую карту первой масти можно выбрать 13

способами, следующую карту второй масти — 12 способами и т.д. Итого 13×12×11×10 = 17 610 способов.

Ответ: 17 610 способов.

3.2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из пяти языков: русского, немецкого, английского, французского, итальянского — на любой другой из этих пяти языков?

=10

Ссылка на основную публикацию
Милен фармер пластические операции
Популярнейшая французская певица, известная своим стремлением к неординарности и эпатажному шику с оттенком откровенной чувственности и эротики, Милен Фармер без...
Конфигурация usb не меняется
Старые устройства Android поддерживают массовую память USB для передачи файлов на компьютер и обратно. Современные устройства Android используют протоколы MTP...
Кухонные весы cameron kfs 111 инструкция
Инструкции и файлы Файл Страниц Формат Размер Действие 6 pdf 1.34MB Чтобы ознакомиться с инструкцией выберите файл в списке, который...
Модем huawei 4205 мтс
Все о локальных сетях и сетевом оборудовании Вопрос, как разлочить модем МТС, чаще всего возникает, когда у конкурирующего оператора связи...
Adblock detector