Вычитание в пятеричной системе счисления

Вычитание в пятеричной системе счисления

Рассмотрим два основных арифметических действия: сложение и умножение в различных системах счисления.

Пятеричная система счисления

Сложение

Составим таблицу сложения для пятеричных цифр (будем использовать ее при сложении чисел в «столбик»).

1 2 3 4
1 2 3 4 10
2 3 4 10 11
3 4 10 11 12
4 11 12 13

Найдем 234 5 + 312 5 . Складывать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вычитание

Используя таблицу сложения можно также и вычитать числа в пятеричной системе счисления:

1 2 3 4

1 2 3 4 10

2 3 4 10 11

3 4 10 11 12

4 11 12 13

Найдем 203 5 – 34 5 . Вычитать будем поразрядно в «столбик», используя таблицу сложения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Сложение и вычитание можно выполнять и не используя таблицу сложения.

  • при сложении чисел в пятеричной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 5!
  • при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 5 единиц.

Если выполнение операций сложения и вычитания поручить формальному исполнителю, например компьютеру, тогда необходимо хранить в его памяти таблицу сложения, т.е. 5*5=25 ячеек памяти будет занято под таблицу.

Умножение

Составим таблицу умножения для пятеричной системы счисления (цифру 0 не включаем, т.к. умножение на 0 всегда равно 0).

2 3 4

2 4 11 13

3 11 14 22

4

Найдем 13 5 * 24 5 . Умножать будем в «столбик», используя таблицу умножения, аналогично десятичной системе счисления. Важно правильно записать числа друг под другом поразрядно (по позициям) справа налево.

Вывод: Для выполнения арифметических операций в пятеричной системе счисления необходимо запомнить 25 правил сложения и 16 правил для умножения. .

Столько правил необходимо было бы «запомнить» компьютеру, если бы он работал в пятеричной системе счисления. Сравните с «нашей» десятичной системой счисления: 10*10 = 100 правил сложения и 9*9 = 81 правило умножения!

Двоичная система счисления

Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

1

1 10 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Вывод: Для выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления необходимо запомнить всего 4 правила сложения и 1 правило умножения. .

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера храниться в двоичном коде

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

  • при сложении чисел в двочной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
  • при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.

Троичная система счисления

Заполните самостоятельно таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления.

Сложение

Умножение

Для закрепления материала Вам предлагается поработать на испытательных полигонах, где Вы сможете сами составить примеры на сложение и вычитание в раличных системах счисления (от двоичной до шестнадцатеричной) и управлять процессом вычисления.

Испытатель 1 ( сложение чисел в различных системах счисления ).

Испытатель 2 ( вычитание чисел в различных системах счисления ).

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

АлёшаКатюшаСерёжа 24.07.2019

Ответ

Проверено экспертом

перевод из десятичной системы счисления в пятеричную:

нужно делить число на основание системы счисления и записать остаток от деления и частные.

24(в десятичной системе) —> 44(в пятеричной)

и можно проверить (перевести обратно).

перевод из пятеричной системы счисления в десятичную:

цифра каждого разряда умножается на 5 в соответствующей степени: единицы на 5^0, десятки на 5^1, сотни на 5^2 и т.д.

44(в пятеричной системе) = 4*5^0+4*5^1 = 4+20 = 24(в десятичной)

26(в десятичной системе) —> 51(в пятеричной)

51(в пятеричной системе) = 1*5^0+5*5^1 = 1+25 = 26(в десятичной)

1000(в пятеричной системе) = 0*5^0+0*5^1+0*5^2+1*5^3 = 125(в десятичной)

правила сложения и вычитания аналогичные.

2031 — 231 = 2000 — 200 = 1300

и можно проверить.

2031(в пятеричной системе) = 1*5^0+3*5^1+0*5^2+2*5^3 = 1+15+250 = 266(в десятичной)

231(в пятеричной системе) = 1*5^0+3*5^1+2*5^2 = 1+15+50 = 66(в десятичной)

1300(в пятеричной системе) = 0*5^0+0*5^1+3*5^2+1*5^3 = 75+125 = 200(в десятичной)

Сложение в системах счисления

Как мы складываем в десятичной системе счисления?

Давайте вспомним о том, как мы складываем числа уже привычным нам способом, в десятичной системе счисления.

Самое главное стоит понять разряды. Вспомните алфавит каждой СС и тогда вам станет легче.

Сложение в двоичной системе счисления

Сложение в двоичной системе ничем не отличается от сложения в десятичной системе. Главное помнить, алфавит содержит всего две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы складываем 1 + 1, то получаем 0, и увеличиваем число еще на 1 разряд. Посмотрите на пример выше:

  1. Начинаем складывать как и привыкли справа налево. 0 + 0 = 0, значит записываем 0. Переходим к следующему разряду.
  2. Складываем 1 + 1 и получаем 2, но 2 нет в двоичной системе счисления, а значит мы записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  3. У нас получается в этом разряде три единицы складываем 1 + 1 + 1 = 3, этой цифры также быть не может. Значит 3 – 2 = 1. И 1 добавляем к следующему разряду.
  4. У нас вновь получается 1 + 1 = 2. Мы уже знаем, что 2 быть не может, значит записываем 0, а 1 добавляем к следующему разряду.
  5. Складывать больше нечего, значит в ответе получаем: 10100.

Один пример мы разобрали, второй решите самостоятельно:

Сложение в восьмеричной системе счисления

Так же как и в любых других системах счисления необходимо помнить Алфавит. Давайте попробуем сложить выражение.

  1. Все как обычно, начинаем складывать справа налево. 4 + 3 = 7.
  2. 5 + 4 = 9. Девяти быть не может, значит из 9 вычитаем 8, получаем 1. И еще 1 добавляем к следующему разряду.
  3. 3 + 7 + 1 = 11. Из 11 вычитаем 8, получаем 3. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 6 + 1 = 7.
  5. Складывать далее нечего. Ответ: 7317.

А теперь проделайте сложение самостоятельно:

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

  1. Выполняем уже знакомые нам действия и не забываем про алфавит. 2 + 1 = 3.
  2. 5 + 9 = 14. Вспоминаем Алфавит: 14 = Е.
  3. С = 12. 12 + 8 = 20. Двадцати нет в шестнадцатеричной системе счисления. Значит из 20 вычитаем 16 и получаем 4. И единицу добавляем к следующему разряду.
  4. 1 + 1 = 2.
  5. Больше складывать нечего. Ответ: 24Е3.

Вычетание в системах счисления

Вычитание в десятичной системе счисления

Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.

  1. Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
  4. Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
  5. Ответ: 3411.

Вычитание в двоичной системе счисления

  1. Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
  2. 1 – 0 = 1.
  3. От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
  4. Ответ: 110.

А теперь решите самостоятельно:

Вычитание в восьмеричной системе счисления

  1. Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
  5. Ответ: 5451.

Пример для самостоятельного решения:

Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления

Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?

  1. 4 – 3 = 1.
  2. 5 – 0 = 5.
  3. От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
  4. Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
  5. Ответ: 5С51

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в системах счисления

Умножение в десятичной системе счисления

Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.

  1. Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
  2. 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
  3. Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
  4. Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
  5. Ответ: 2570988.

Умножение в двоичной системе счисления

В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.

  1. 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
  2. Проделываем эту операцию еще 2 раза;
  3. Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
  4. Ответ: 1011011.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в восьмеричной системе счисления

Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
  2. При умножении на 0, получаем четыре 0;
  3. При умножении на 7, у нас получается число 55164;
  4. Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
  5. Ответ: 5556634.

Пример для самостоятельного решения:

Умножение в шестнадцатеричной системе счисления

Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.

Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.

  1. 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
  2. А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
  3. При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
  4. 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
  5. Помним правило умножения на 1;
  6. При умножении на В, у нас получается число 1670С;
  7. Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
  8. Ответ: 169В974.

Пример для самостоятельного решения:

Деление в системах счисления

С делением все так же, как и в привычной нам десятичной системе счисления.

Деление в двоичной системе счисления

В двоично системе счисления делить гораздо приятней, чем в десятичной системе. Потому что в десятичной надо угадывать числа и постоянно умножать, чтобы у нас получилось нужное значение. А в двоичной системе на какое еще число кроме единицы необходимо умножить, чтобы получить нужное значение? Правильно, ни на какое.

  1. Сколько в 101 получится 11? Правильно, 1. 101 – 11 = 10;
  2. 100 / 11? Так же 1 раз 11 поместится в 100. 100 – 11 = 1;
  3. 11 / 11 = 1, в остатке 0;
  4. Ответ: 111.

Деление в восьмеричной системе счисления

  1. 46 меньше 53, значит делить будем 462. Надо угадать сколько раз число 53 поместиться? Угадываем 7 и записываем;
  2. 53 / 53 = 1. Записываем к ответу, в остатке у нас 0;
  3. Последний 0 мы так же записываем к ответу, так как делить больше нечего;
  4. Ответ: 710.

Деление в шестнадцатеричной системе счисления

Осталось самое страшное – это научиться делить в шестнадцатеричной системе. Да прибудет с нами сила.

  1. 4С мы должны поделить на 2В. Методом подбора определяем что умножить можем только 1 раз. 4С – 2В = 21 и единицу записываем в ответ;
  2. Также методом подбора определяем, что 2В, мы можем умножить на С. 219 – 204 = 15;
  3. Опять, методом подбора определяем, что это 8. 158 – 158 = 0, решение закончено;
  4. Ответ: 1С8.
Читайте также:  Срок службы смартфона леново
Ссылка на основную публикацию
Восстановить забытый пароль ржд
Если Вы знаете логин и пароль, а войти на сайт РЖД у Вас не получается, то зайдите на сайт РЖД...
Валидация что это простыми словами в медицине
Здравствуйте, дорогие читатели! Добро пожаловать на блог! Валидация — что это простыми словами? Чем отличается валидация от верификации? Ответы на...
Вдогонку николаю крикнули чтобы он больше
Задание 13. Определите предложение, в котором оба выделенных слова пишутся СЛИТНО. Раскройте скобки и выпишите эти два слова. (В)ДОГОНКУ Николаю...
Вызов на ivr положительный ноль что это
Положительный ноль — это сервис, позволяющий абонентам МТС оставаться на связи, даже если баланс их лицевого счета отрицателен или равен...
Adblock detector